← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (564925300752601904112887726216a^{2} + 176389040447203026477697229632a - 227972484723186175597849313920 )x^{47} + (266211487880775440348663533344a^{2} + 296158474864740292793577194860a - 357706307062610986765781608152 )x^{46} + (363882928885439033965053996456a^{2} + 540502618000214265272496209936a - 27899517502053999387747009592 )x^{45} + (-551256199232280211244964723472a^{2} + 72093367138858918065299268792a - 354907682924499098210111467160 )x^{44} + (-584950023206992350462236031424a^{2} - 430538133551325357091959998880a - 134607282273759574820272223504 )x^{43} + (-471793976085637677882038795476a^{2} + 310330853531324582064078842660a - 495011250501627926438291308236 )x^{42} + (177714883384607036422839361600a^{2} + 403847408369936692494678718728a + 317530477639491533515483442648 )x^{41} + (578760194947624367274139985680a^{2} - 38600515020422153338113823472a + 100953456254019587538768067420 )x^{40} + (-221823978119580801556748193872a^{2} + 101198657891546551989001886976a + 592602824132634729509974640720 )x^{39} + (-132535735958830032404485429952a^{2} + 281243118497624773468343072712a - 111705349757005686631521024688 )x^{38} + (209566659111152458120416446512a^{2} + 42625648465558386774889437352a + 229268693843075210796535719256 )x^{37} + (-356576721412104058897021029464a^{2} + 521190866171992619957385557188a - 58643061446886162321745146424 )x^{36} + (409438461250515563479619684432a^{2} - 510349807492244275630630713616a + 103267897971835694246147482528 )x^{35} + (81399327420741340955726532224a^{2} - 318912198740097348924856668192a + 562552807075774139433880997388 )x^{34} + (-614525091226121383458266251408a^{2} - 364724557045966753135974218664a - 482905189614410487219078633448 )x^{33} + (-458916410760815281897509111024a^{2} - 45947871076670069680679656242a - 247178614672172188268829595384 )x^{32} + (425615616285272908329988614144a^{2} + 212809957818236756648325147488a + 183180614368517499757834268976 )x^{31} + (155504824108464078365151607704a^{2} - 629305578548704727491135472128a + 162920135968854909028066789384 )x^{30} + (-494008519338311872414531650000a^{2} + 191939434585059308104308739688a - 420977846271811263043618520136 )x^{29} + (410641837871575403364303296084a^{2} - 304995458092603849588529690092a + 165070899368715619123396817520 )x^{28} + (16856111621374868738480390640a^{2} - 546917615556573128819799158912a + 212759287283150132086256038256 )x^{27} + (-14894430016264427259950084176a^{2} + 507874890844059683612308888392a - 347251796355269473928477104416 )x^{26} + (407667526866551912679415261104a^{2} - 628121199385206739034273147728a + 91167726175012189764773873040 )x^{25} + (-521302675789231708127716234052a^{2} + 447727282297856635536634264628a - 211839442341752259303862711604 )x^{24} + (-57827221983802652849186650144a^{2} - 587950152221047180983725228000a - 458408451213381027131296497264 )x^{23} + (16589257520644450907260844464a^{2} - 448057138051147844796226861272a - 381077143127164551896714991104 )x^{22} + (608506657673872202590486559936a^{2} + 327906313994337790172642225680a - 243655266774112388017812907632 )x^{21} + (290244575785699495362660244976a^{2} + 310017710756265841931904607016a - 374998114530859751737689472464 )x^{20} + (37425304495815042838999376960a^{2} + 144675701775465952265015023776a + 193616710188860158953537784896 )x^{19} + (-358862284666685741052938554632a^{2} + 440174017829790267440520394416a + 28264737254523969592770497048 )x^{18} + (488380615420488024016064775408a^{2} + 527911554197649357263027852656a + 95929645783958806332039022384 )x^{17} + (-231478525593937393967026615652a^{2} + 508094615497546136104182525664a + 269153666821100777605128933856 )x^{16} + (201014430264201211123188609920a^{2} - 524940748924607384911362342016a - 509753109084484385942173462016 )x^{15} + (615446538149551621706804700344a^{2} + 591335368718290553458733688552a + 374667768265150713726531492048 )x^{14} + (538109397848649385466383004064a^{2} - 604971217749481176051162006608a + 90641080254547147666578289088 )x^{13} + (-532350070404997257230999233304a^{2} + 191522655079527965731347253104a + 314854293543020958254099232952 )x^{12} + (290140731976585429209879691872a^{2} - 312503904808673118128780260256a + 613516120814650326187433077088 )x^{11} + (464564957765844938846685805520a^{2} + 633532134662766966654630546544a - 283407452513977594189438320744 )x^{10} + (-224579033843785779753358178048a^{2} - 486734936411462016993347757040a + 48472548690023302823160390576 )x^{9} + (204017273309780547098328835232a^{2} - 92968368359518637683344346068a - 411837147841092498301139767224 )x^{8} + (-145058059588289794343066600224a^{2} - 409158702811861893798839423424a - 365663848507220318758745054880 )x^{7} + (451599918140553098329410768064a^{2} + 539720566688150790387271284032a + 189127307829683265440450959568 )x^{6} + (-140781950881146068821016476944a^{2} + 66524915584781805364084886256a + 466183496162021076686548216560 )x^{5} + (-118579324349017448581688756792a^{2} + 59319737704930791880985854024a + 216787705558122649385971027632 )x^{4} + (-244913977717425422201296174240a^{2} - 552330801148182642887767549248a + 130751094360665054186841324320 )x^{3} + (435481080328192004290470764160a^{2} - 405350876097345740013192505856a - 525548987890223035547999122208 )x^{2} + (-26764673330568103847627766144a^{2} + 152969206760515641506224605216a - 263977100992435927704609064576 )x + 389079109676322926838052986504a^{2} + 212768715395936726220865485896a - 560588443424416452863481987452 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary