← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.148186_597840_744842.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((-311842524216319057453620954256a^{2} + 29175569702122295868628379472a + 295771947292174257512063219081)\mu_3 + (225281541366722986310227708876a^{2} - 230490931601766801188336703062a - 295706637668662874108721344122))b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + (3a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (2a + 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((-a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1)))c + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b - 2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (503036144419341949215471194000a^{2} - 444871701069620068526244745544a - 48614731905780444726338010112 )x^{47} + (598776625884876296583331457664a^{2} - 489852345094484412759562577320a + 184099968673143340862406523500 )x^{46} + (-54028231113988216174075981736a^{2} - 111908304888606599259805455656a + 386454250138847256547875664008 )x^{45} + (481983444363740761228418591372a^{2} + 496683036446514739845701493856a + 135002259511024831714552837828 )x^{44} + (-391879838945019538726734582696a^{2} - 195035645105791703715508050456a - 504357267125367232420792374344 )x^{43} + (579755834505203678878326205272a^{2} - 470470259887878964981945810524a - 203994258411468531098695476232 )x^{42} + (514282489585967164530953307576a^{2} - 615876364577395979983506713472a + 557994926839611709529403416152 )x^{41} + (120706491219830747806558027792a^{2} - 130588209694960208594690587312a + 203689304834895562984192954884 )x^{40} + (428163817728387985202550300016a^{2} - 626849652622760573847821703904a + 185418640670995755622475903584 )x^{39} + (187631692174658599066673871704a^{2} - 93439250976002697843117555876a + 38201245845892973865554560860 )x^{38} + (-269734767281041241648593855552a^{2} - 77490516478213798908277954112a - 353724941506544155409438480376 )x^{37} + (272502562951202803779258073084a^{2} - 3982209779336993358625087292a + 111980717289086816463289944344 )x^{36} + (-336273666997513629956368142416a^{2} + 589513429982419092716992701968a + 317927788059143083517471036272 )x^{35} + (-404853831349883405486425681216a^{2} + 409243180880734862090283238128a + 22602266100175620910153814612 )x^{34} + (-103348699319791829313685183888a^{2} - 540312613409841034751586303336a - 503163453491182831074291337608 )x^{33} + (-254744040403170840534909002962a^{2} + 166044806197689003255979038598a - 291121701299466283036371201130 )x^{32} + (334537481391600138107581424336a^{2} - 352360463281520081811995704208a - 189510298461650538491862695152 )x^{31} + (611841804224697317513168038424a^{2} - 56095182584667178020124046280a - 122856188625512678967302519128 )x^{30} + (-330348755212411866776540122296a^{2} + 399728985332373415250405292808a + 432016357374486801002193779080 )x^{29} + (551304817053779768975411320380a^{2} - 532188265234276738726843187120a - 326317070819115968891684126824 )x^{28} + (-441820994027814321019746189424a^{2} + 469517569344978508708222060944a - 51999471883178607652778605312 )x^{27} + (-421102663556104746221230070040a^{2} - 163760626346398697649613190840a - 539200472394369960834427174808 )x^{26} + (237866200829775456664991777528a^{2} + 601992328211659047225091760336a + 480413411776291249613389429056 )x^{25} + (80452674663482778638673732952a^{2} + 590063252237513699404212018928a + 294691495055662483350610230368 )x^{24} + (413856624562389672644053678848a^{2} + 586976204657866451769196741344a - 477653666099781747837423836544 )x^{23} + (72142912251809983654248179736a^{2} + 318707535998509970227209488672a - 617296048356661697570370278232 )x^{22} + (-255084359692786063381587359536a^{2} - 144904704368573994034508988528a - 267643619995139805583733777296 )x^{21} + (-579570164545258537354659076280a^{2} + 89450110547720299167367529448a + 467178714168144080898817512752 )x^{20} + (408103203700917550109590355376a^{2} + 509586760802952043004456175120a + 574431117700380778348377098912 )x^{19} + (-268080783871159487269514690520a^{2} - 382652265341085451745842898536a + 67280785601507779466213003504 )x^{18} + (564157903510269242871525019584a^{2} - 196307063251082564404724742320a - 154860930959508149930548082752 )x^{17} + (-182450812745703266225607156576a^{2} + 530269447101291586849018353508a + 444185272435463501004497123596 )x^{16} + (-425353024919664452371096212640a^{2} + 477085414015965935679572912512a + 61141699702943250958045886592 )x^{15} + (515586784891033474934957568896a^{2} + 389108310978121553453357065936a + 162046592451019282718652579792 )x^{14} + (597705339667637912147410943920a^{2} + 599505875704863371087671645888a + 6758834703645635920528212848 )x^{13} + (566184133996679841334966853872a^{2} - 187321494233942021826944451544a + 173511998624285199313243679040 )x^{12} + (555592790272273263830077682272a^{2} + 323646309660660574396722256448a - 277981334762594221452544739648 )x^{11} + (-215225428277108775647852287064a^{2} - 365653526732756165768003005648a - 29509054301526676928599089768 )x^{10} + (16315036312458940086767077648a^{2} - 530464367803285632502166294240a - 38449303177819656813296272016 )x^{9} + (212897858759974558029382897724a^{2} + 134240981015959605442466053684a - 231975095382105110015604781752 )x^{8} + (-435100991921239403194890690720a^{2} + 432161147463475913783073304928a + 146253223647569019046663058816 )x^{7} + (-426287701161895677726387323680a^{2} + 165234086731200938659861081712a - 582761917735956088264165497872 )x^{6} + (-377440620631774799359106876064a^{2} - 548741543421637535285079434720a - 385901690968273634877718716896 )x^{5} + (-243408602046385938305225964320a^{2} - 554246661771143148511219515096a - 519540429596738503694238464592 )x^{4} + (-475556273835571881174483991904a^{2} + 89564181409115087737441678688a - 42550137539891306059202066720 )x^{3} + (-188279983591313746483171473200a^{2} - 53006161975180301775964896096a + 59735577250243374258843742512 )x^{2} + (-486480877822149470933988360576a^{2} + 600241243566291478990231295056a - 597304710825815365950901176672 )x + 491456352313846321944540775356a^{2} - 69092489740438933456978263356a - 371294065430034002993845075940 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary