← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (32117797732160749017415405428a^{2} + 388678330189205810435735469664a - 239459440734232593020875834800 )x^{46} + (-459581767643554189922854980448a^{2} + 55636412937967556391321737736a + 71860866923046868870619355488 )x^{45} + (371167514558497993999399716768a^{2} + 218150288849590237553395190624a - 453332401337941908019254690252 )x^{44} + (-332653385338063624608886446096a^{2} - 524052655416223193485080583632a + 393664357275228103795828740320 )x^{43} + (-500949041912728345604206490660a^{2} + 71137963659886624707317839036a + 225804804536308317347944704628 )x^{42} + (-161680388837076581539638808680a^{2} - 588613782157349836244922561856a + 280825033982914258128234322104 )x^{41} + (-366365085927025802900890935544a^{2} + 346580626951617842247428625264a + 313123758131181348520067151152 )x^{40} + (-447665806283487750403869069888a^{2} - 83365333628913116229219293072a - 51984050728047373846596174976 )x^{39} + (47845640497962823743210298576a^{2} - 145426392158839511126625103776a + 397816790504580688037414462824 )x^{38} + (-335503750934511960734269294008a^{2} + 622903703170408963913880791840a - 276721746266706226274832297288 )x^{37} + (618000036467377208782803808056a^{2} - 601065589352565092658637855212a - 389546452259199182815906783484 )x^{36} + (-66119431143157184337677122464a^{2} - 319389634532453234366080185440a - 253148837631969150920187087600 )x^{35} + (276154036332184175214877976108a^{2} + 34180332699200199359454355220a - 157754983212355470390171868500 )x^{34} + (213009579606678747139360689904a^{2} + 115743815574122493143671264752a + 546325585940628358608512551536 )x^{33} + (-354508144182228625710666572318a^{2} - 461426696469741741706389286840a - 534176217723794799603414930142 )x^{32} + (-242930957371789348269816900512a^{2} - 121966609340345406782464700480a - 558352392398670667035248349120 )x^{31} + (171398049834487654675329295824a^{2} - 204771121351304464307591124408a + 202123342810187243016457302352 )x^{30} + (-210419663204660835219662837192a^{2} - 495882618629206950953837554576a + 390893896965645666149021507840 )x^{29} + (2477498580755780812830382328a^{2} - 341416299300230552513597131884a - 581633460231074197490975518692 )x^{28} + (232438328197516474889668405024a^{2} + 185687723575136643095847904a + 364110972754226417225720999648 )x^{27} + (-480571229315872858059001776136a^{2} - 543475033103444958430401758720a + 161838084934179727006699405296 )x^{26} + (-245064169694638191537304820128a^{2} + 578956764670350425225131081824a + 491669567868756489946409716368 )x^{25} + (-467765197235887224006262719068a^{2} - 584646473946396564539040865376a - 306385316565885375071994334048 )x^{24} + (-42690720663803441585314458560a^{2} + 607812357371954471096450621056a - 457111819090929243439087516016 )x^{23} + (115665942218786371904933040360a^{2} - 403446444961792317817189546592a + 501907500164319209733197755408 )x^{22} + (517692315947900209222883706976a^{2} + 213153335610332076822022240736a + 603368434040202512057882128816 )x^{21} + (273589945099715517597141728592a^{2} + 562441358104779010717327995568a - 293502197947773538789198896016 )x^{20} + (480042353779168173237358784160a^{2} - 223287017716495461240827981696a + 302393191817686456544741120736 )x^{19} + (357809497532869141970080378376a^{2} + 141183953130577632734084502408a - 146278808727282633862581767696 )x^{18} + (-220187288038090371263516240704a^{2} - 178495391700074186884560725440a - 243723573762381782439313111024 )x^{17} + (-425707049258672617235986211220a^{2} - 372941253334953389250011826916a + 407282809820786152477856852632 )x^{16} + (180044199020920366343855968864a^{2} + 134410708277035950537285836704a - 591977710145464297234919258528 )x^{15} + (320579831649768050192837114256a^{2} + 399527540709660411413226375816a + 311673713549903255026228633664 )x^{14} + (-276099677556150515271107320112a^{2} + 458232515638251964804099056896a + 434205972043924376574342114720 )x^{13} + (-241574283904108430688443617272a^{2} + 174870462060393902459649820896a - 541824160640948583987364289824 )x^{12} + (-493595732515326083544953200704a^{2} + 136879690836000581174667897600a + 309704733073252734250748015840 )x^{11} + (-440649382713632372600019859272a^{2} - 318563416976824151495211800920a + 541336243452969466427271617192 )x^{10} + (-533235557207217988271894117120a^{2} - 216967325852039129753795898720a - 536826356370446606042588836128 )x^{9} + (447970520507885746384132723828a^{2} + 307084756662233173307103816208a + 194453327850708393209693660436 )x^{8} + (-604232907972425143111604215904a^{2} - 607483963591464200646033073472a - 277220966706769011846247646304 )x^{7} + (-236291293098801983688080508016a^{2} + 260876984889203344495964497440a + 614817841898850471114574628992 )x^{6} + (574544044015734179158573424832a^{2} + 430971061062535284730643194720a + 418643873765417609982006455296 )x^{5} + (508272253953211854127358035552a^{2} + 469565777859807626557593931992a + 10254671368836571013097569480 )x^{4} + (434062792908402153874842422464a^{2} + 516949055298161481459403187008a + 177738828488900290258633852800 )x^{3} + (498691602549992380261148645472a^{2} - 624329151366829389544796116816a - 262865686739743242929255066944 )x^{2} + (43192846746459577725526834560a^{2} + 434160393310906497989954519520a - 451236761329848515415470973696 )x - 586448754230535486983863491544a^{2} + 240617217189361662719328218208a - 338754792383177861431143851252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary