← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (-628827908924436132111586478756a^{2} - 589379132886205550780099352056a - 26075001054669396289928228864 )x^{46} + (-339628866350377966410919051104a^{2} + 539593631889849671197816098600a - 376200474532364595838597605040 )x^{45} + (273705485325090462438409299856a^{2} + 78344506746768036819202893816a - 248843914654602908459284903148 )x^{44} + (-399578798559789374320434312304a^{2} - 342334616570401621936785236576a + 329318371394627574922777519440 )x^{43} + (-155537431585721487914170737076a^{2} + 313342361658626110533074669244a - 327538488306693235915787509100 )x^{42} + (571759846749111800319130266152a^{2} + 529781455617587916979857983992a + 163840116888711882028311952560 )x^{41} + (431819782344007115993129162376a^{2} + 326024342296456823669365452332a - 593436043347550382502951526400 )x^{40} + (440575371801825504434617986176a^{2} + 183054243618124903250001907536a - 340045822963656214927559052992 )x^{39} + (147522307443874660573673389008a^{2} + 50768358737024912427256391352a + 43603679178796447162930182016 )x^{38} + (-598315782839019907708581385976a^{2} + 32441854510554324134020134848a + 2203559379958076290152977240 )x^{37} + (-599618006643676414225083471256a^{2} + 474623723427632714816876492692a - 533161917207408682072876785332 )x^{36} + (347043643777452172329753400368a^{2} - 572655040306963771428927015760a - 183349473185355790885740445696 )x^{35} + (591142264938210645434423893692a^{2} - 79026954923692296187361793700a - 457301649353931934096015556484 )x^{34} + (-155637491349427197246030973376a^{2} + 54393778226242875571164498720a - 353170890623276981734836828960 )x^{33} + (-66844717350453656189040866550a^{2} + 146992625368523862814056690428a - 416234322379793673621914824230 )x^{32} + (-511769891584131878387840261856a^{2} + 208208818828836562102608798976a - 36991652431082912647842898304 )x^{31} + (-603859359556023810989208089552a^{2} + 599977957827937716967085040808a - 619697982461908731857532731504 )x^{30} + (-178267647805849517340212516264a^{2} + 448361410360775325231407192624a + 496271029782781455683979401888 )x^{29} + (-24566197013643259956511578672a^{2} + 32241558471995986605427758084a + 64462574959012436786233597108 )x^{28} + (-319920323998664755187337392416a^{2} - 4985877259748285371116278144a - 164472398481763543269165731968 )x^{27} + (-153358906807353528983833034176a^{2} + 316065820293851976379858246976a + 337101159577095288453372762928 )x^{26} + (222958985675518257560069001312a^{2} + 145769445215024092221991404720a - 431151856853222726938317912128 )x^{25} + (347547435401143627439406650956a^{2} - 436137179625816859917027249360a + 125363825621583950112387947208 )x^{24} + (581992332672063701264125595840a^{2} + 385869334427778966481789665600a - 403747900906009803639977174192 )x^{23} + (-626119401590533885481366872008a^{2} - 497860323719806949243893837216a + 52856274025079992073933014560 )x^{22} + (-586946793825977547643713568640a^{2} - 410920625461602866854242164448a - 267681800011494674748721777680 )x^{21} + (-130802932416582849616389312856a^{2} - 118695225637959179202315359384a - 229096261504083088746407853472 )x^{20} + (-438726582832423156284832110080a^{2} + 531321798605359571431124618880a + 546083554127932592555406419552 )x^{19} + (-326729755891183418928570270856a^{2} + 501490759649014778285908893112a + 472546417845925550220022704272 )x^{18} + (182114009011466374596444128992a^{2} - 182858528336044348621293883840a + 53289444971209048314003153840 )x^{17} + (129018019614166073565800837772a^{2} + 463820171099352520442129619796a + 503656329581563330681851762008 )x^{16} + (-583434736803307854471995645920a^{2} - 171097615180390154485405122464a + 421597423375224239192598196832 )x^{15} + (276760416889994672407698606736a^{2} + 514468968954596199925878960584a + 466524637831723500180319197504 )x^{14} + (109601660029387070502682989520a^{2} + 96143763178906510392613571200a + 366636650130409818597920403072 )x^{13} + (-243132741357243737473213522664a^{2} - 596519056305188463198445743216a + 455763205639114393848699372096 )x^{12} + (585962728269090667939704132032a^{2} + 541670784491817055746653248192a - 436435211495782620436492174560 )x^{11} + (533396617770005608567992170008a^{2} + 444750765022282653043309543544a + 569974492720163965379347362008 )x^{10} + (85217255255253735356014369664a^{2} - 199378135940544554393940481312a + 268270290886390844910822519936 )x^{9} + (570542589184577150552470563060a^{2} - 7988940950211037954026795840a - 215619776372442475676925988908 )x^{8} + (-110420977317453749030864275168a^{2} - 233576755845897239500912421696a - 192853453961454880863075666912 )x^{7} + (255090833002440418764603537392a^{2} + 353264053397794483570721079200a - 322577400347680512229069916064 )x^{6} + (546782193987226810712847225760a^{2} - 424819205988835071207144322688a + 461380710965910797697028251840 )x^{5} + (598909806881756940588091014432a^{2} + 3878913608863626735261952744a + 89730586838397050271677593256 )x^{4} + (-603883308342460903882257945728a^{2} + 517901729961342289458034063104a - 570112303269391175170659463104 )x^{3} + (-360783886738327625093805823520a^{2} - 348719953522104389228035013136a - 393375102399331406684422670688 )x^{2} + (586500402919042961177630040064a^{2} + 261814754480092938306353977184a + 241252688101361258649001633312 )x - 483092889882884051166507928504a^{2} - 53376926226945112153711007568a - 431956818537294547020809489140 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary