← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (135719391353973069429294550356a^{2} - 138024840725077259471667973064a + 65236186915081432809730070928 )x^{46} + (496360571015470401183177525968a^{2} + 3058387972544070469211838232a - 26336139352900715270415689600 )x^{45} + (441213743854033359586403577552a^{2} + 146220962680851638509942004472a - 100005926258545464627286271412 )x^{44} + (243276068846436903653593838032a^{2} + 10969850240272209589704782032a + 182406353391129919306807821648 )x^{43} + (-196133428629502294538889434196a^{2} + 421151535345813099891632133292a - 164375733893606800918742789932 )x^{42} + (-611142917010948279365238611680a^{2} - 459715524363596096080001003848a + 160343219113869845046123173224 )x^{41} + (540716926884514481647691713872a^{2} - 410051240174469214663312881284a + 490163549685392208026487381432 )x^{40} + (338542245849333595998315274208a^{2} + 152425035443186975706005350608a + 170379706053463623591505931296 )x^{39} + (-452138260514902047528753015992a^{2} + 468729851258581741034978430248a - 623892773754219991603484266272 )x^{38} + (-432484657964505848993234650808a^{2} - 103848037510834415781487788992a - 162656349004195908177566902520 )x^{37} + (-379610955841644610168270597496a^{2} + 293521568812452384620023328916a - 63835508981971205144221323380 )x^{36} + (-198873716693651047849403101392a^{2} + 94034713443772052543648182448a + 614707026144578405651156473312 )x^{35} + (17916171048006983628610506060a^{2} - 307616998982591711450651291476a - 302169961823583642372258513540 )x^{34} + (143262859726144625036513490080a^{2} - 489685341169810718494796944112a - 366287310467038029081224243968 )x^{33} + (-464385244316147004313899923062a^{2} + 535939801286608985511926577068a + 115455956473893977912064578006 )x^{32} + (413430589382950939044508202592a^{2} - 101810401154799457504732636800a - 372848261335344264344817852800 )x^{31} + (-578286904379051299487210674080a^{2} - 252345117219355055669668004744a + 555556164917553544801270553584 )x^{30} + (-164196997147556199212034690088a^{2} + 497722208326367222899564520176a + 382617105698762430349666935328 )x^{29} + (186398140595502489250024263496a^{2} - 64710923925393031445470667668a - 628964125454561633623869612172 )x^{28} + (-500811821789883745902775959456a^{2} - 183800800230830715712073230912a - 494378333809002712079387252160 )x^{27} + (253095338672507729688824929160a^{2} - 50016800795687555380716200456a - 45531574835946457236778925032 )x^{26} + (475297742091820756488050129168a^{2} + 388592295258368251661838431952a + 518615039483354547281253339632 )x^{25} + (-461794932454892887812165040820a^{2} + 623271181725286036412383957720a + 628271154821008896818960825736 )x^{24} + (-611012263461727009519347060736a^{2} - 69376060471397885661579252544a - 352173924829233379544833552176 )x^{23} + (-243098373923864873814534069640a^{2} + 503989453914936161251578505712a + 249256987360753834616937509872 )x^{22} + (476807992513824675833693455104a^{2} - 278841234445912852824334791232a + 338459563641501838177711485200 )x^{21} + (-250874269204468595680808167368a^{2} - 417527282052599446490468062648a - 544282518273249820066597612000 )x^{20} + (-467162259290178392163577773472a^{2} + 285557840830522220380016573952a + 204621640002664508150194006592 )x^{19} + (-542911699236679832167803330648a^{2} + 83354942180878015404660942920a - 400970210328836623479236283648 )x^{18} + (-144410963461595793574425872384a^{2} + 116859305749805098700349368128a + 446916028211174961977863533680 )x^{17} + (-442036300942696720473458658932a^{2} - 526542283753519445517002064380a + 129346192188027629429167743656 )x^{16} + (-510182165539054380449972902816a^{2} - 468479160219216596683780494752a + 425963375322631640915194209888 )x^{15} + (-252197527420484529706536802608a^{2} + 52395868615789751813376518600a - 147214136739030494455868447712 )x^{14} + (294465552478423911650706674576a^{2} + 73217584475424022212965348800a - 90913877606698668491881530848 )x^{13} + (-408916731660883553347651078856a^{2} + 360345986308824534760441769520a + 249741261244774358071050730752 )x^{12} + (-286158882907147291616370132288a^{2} - 473743049657395342814400271488a - 201144752263589095563573860896 )x^{11} + (-632605723382551022426436102744a^{2} - 155605804670101963935536616872a - 256681722677655611266809687320 )x^{10} + (449055387804231068977797806784a^{2} - 43352999698356381111199696448a - 257827405085127446158169577184 )x^{9} + (-217141326617550189152398110636a^{2} + 481711860958397220703336594096a + 21621687089223124026682890628 )x^{8} + (154934840160830592411046594720a^{2} - 374340552671231808924381351232a + 607387894535896609897949400864 )x^{7} + (-386635340325062439981715721264a^{2} + 621654455551212897607943118496a - 93812502965427738559475265760 )x^{6} + (-320026602191848393832828752608a^{2} + 12117088414392135923674581600a - 121281978413999645718996797408 )x^{5} + (109741891867193423864857253536a^{2} - 259536192309690641626006620696a + 59879062627570627570218437800 )x^{4} + (552222575775952346300648310592a^{2} - 348381797678871175156228169472a + 110298873210619070075840358784 )x^{3} + (337808148937067284544532306272a^{2} - 475693487805606139565312053264a - 307160551706155997684980255872 )x^{2} + (501874004951890914926935989056a^{2} - 495135172565570548124482382272a - 294791028945314303962145384384 )x + 582061265519835898023416249048a^{2} + 77751722139941588547797430656a - 70056768517074320606172896260 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary