← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (-379689142721276137542221728356a^{2} - 234355633174784391071408220224a + 99500225391129480783237131648 )x^{46} + (339330405922137484538958757328a^{2} - 573183374728583618655721895496a + 110246232871288440539231055280 )x^{45} + (-120561017240554247279579573776a^{2} + 320545084366979202316465948992a - 356938972475852854110991550516 )x^{44} + (-109768943481174820137177228368a^{2} + 177328734488973889114123657728a + 182369902090515805591711050752 )x^{43} + (-471603147867553012803414929892a^{2} - 394775367779242336406891572916a - 38519666303747069319956789260 )x^{42} + (570502854483383291979494583984a^{2} - 578356288331282664398250578256a + 254840509080952148707109550352 )x^{41} + (599403573206234773747839463672a^{2} - 451629253237040495158957576720a + 227157191806402566575766257736 )x^{40} + (287443419257015726878428553056a^{2} - 17357344703815363285294669584a - 207890110344328800865001867104 )x^{39} + (105065388132644852559574864088a^{2} - 227183355652681351531809005424a - 131322899613625555210670474824 )x^{38} + (-489538452997124707620851171608a^{2} - 124124964617754951844168843392a - 59139715750977832830585976312 )x^{37} + (71880122683516722479461956328a^{2} + 122235760076045433879223649108a + 433047954383186748946580081460 )x^{36} + (149623060077631109999589387360a^{2} + 220236421218877053075345893408a - 380447703610384167706143386064 )x^{35} + (359523371954493426716924529836a^{2} + 446193775382521142528668072484a - 50881344875572472901100944996 )x^{34} + (-599925607369016969426222092880a^{2} + 646888911369414910721669888a - 280265504809082732378854754864 )x^{33} + (-514068809388451722412980686502a^{2} + 150115303911687244015601555832a + 492497743570817909627353082318 )x^{32} + (460411408359450883253762138272a^{2} + 28846675361879844319917564160a - 395654513008646530332406420608 )x^{31} + (-525364796980817841422814431104a^{2} + 227419751305416575209950896952a + 63579467086785044272332753232 )x^{30} + (-436382608599203824601126651464a^{2} + 368078144967086554158663186544a - 419144146939333806731865024960 )x^{29} + (295793709937696231277520417824a^{2} - 228459838725326717755776111652a + 295794272906171999354312758092 )x^{28} + (-65541007592725627693008172320a^{2} - 604856371316710345946650830752a + 176461942374424668406481768736 )x^{27} + (470457167673093552765065881504a^{2} - 17906090033111993879642455720a + 333321839098476954183835923752 )x^{26} + (417545477295633496065288933680a^{2} + 355211281065888171967733859296a + 419352286329505341777539213248 )x^{25} + (-439929434526103952226605917372a^{2} + 554141330074154704673426738744a - 349910712497237077720974356464 )x^{24} + (-127364010950155280675412165248a^{2} + 269760750978110103261403783552a + 164178648875831998845343323408 )x^{23} + (490189526856900350256294047976a^{2} + 501006946837738247580521760560a - 604541460352917144388878116704 )x^{22} + (360621789959414086716267911584a^{2} + 51181477139654856488264884480a + 161426760960607068754706741648 )x^{21} + (-158599867091959371800124138112a^{2} - 181347244327691693003100529712a + 368386997846794073464878573872 )x^{20} + (-213382126077346682728983884736a^{2} + 441589999699845289635874220352a + 50448774982728147070644349696 )x^{19} + (-100987101085427893896251545544a^{2} - 509428207148917726642297089032a - 543762162883827125304631113504 )x^{18} + (169479396742665072762192665728a^{2} + 546157189826230031894296861376a + 514873984024086066511570337360 )x^{17} + (73028887227794716839814908012a^{2} - 168352361866401348725457200276a + 200035594884919596833182710088 )x^{16} + (529420795175063293151503742752a^{2} - 255806274994072230117356590176a - 161971707900877411403134199712 )x^{15} + (-404292374062487854386845699312a^{2} + 44290729614986220055525413256a + 468525283786730821238874532512 )x^{14} + (162166818893421130322499000912a^{2} - 479229319436721652417034593664a + 270563391341332415191508241024 )x^{13} + (-357249555275893489738802589464a^{2} - 482016068445346599677723890848a + 79440477435751041532340546912 )x^{12} + (440699922426618240980896206144a^{2} - 104357582479172118687965574848a - 430154465821160283344425372128 )x^{11} + (228256659509343148265151491272a^{2} + 296550112138613226448125782760a - 28592941541712411764650305288 )x^{10} + (141042883632568194971878258816a^{2} - 537802927322540813558723859712a - 181085476601377650128029340736 )x^{9} + (-223685837699675932021933361708a^{2} + 291736003438181001703429864000a - 70534435500414478643830198972 )x^{8} + (-232983701107594467070459722080a^{2} - 594004234280095983169855116864a - 82991168002176185666402064608 )x^{7} + (-304740296505948903472755095696a^{2} - 418803525723191130873283719008a + 96648414222171124284415837504 )x^{6} + (-39609185822468281616752924352a^{2} - 139932654645401314196187114176a - 332897831640941961681965569120 )x^{5} + (96936896057701673746184188800a^{2} - 71233689500304685274554946728a - 556109426937381305145514003640 )x^{4} + (186736260892079215224245828224a^{2} - 75812921328381475191944185408a + 220956138324909800092477634240 )x^{3} + (250825303225115188143082090464a^{2} - 140341856486693503922124268144a - 231617509510407273671922341984 )x^{2} + (-105915732365924114955406093696a^{2} + 82550333513886597191669112512a - 474587504530967346750410982688 )x - 450188247522040093918298075240a^{2} - 235790939510868713221829258000a + 55853707756968599862745181628 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary