← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (581176658392095164382031510692a^{2} + 541048144001457495854365872964a - 222435780291999333739662751896 )x^{46} + (546985860828954033943804566296a^{2} - 252217516149261533376411535456a - 272299691338713730486959534144 )x^{45} + (17338224581166951385543277256a^{2} - 453428928511264045421657363356a + 436838424099319224206870917960 )x^{44} + (322035221404219821292072286744a^{2} - 552731101459544377669623921984a + 330852572304499883216202035032 )x^{43} + (386167394597173557514042408476a^{2} + 408227561496154305721337571028a + 607668271541842595844628797024 )x^{42} + (-37899676357350589954590263432a^{2} + 134838197014641307154432037712a - 167369579600631909878669500880 )x^{41} + (627773103581534097891871587804a^{2} + 432116419507391994787767237820a - 614757374463788483451716684796 )x^{40} + (-104141436482736046225328720624a^{2} + 130687604629306672656487412928a + 286529414990114072752172252464 )x^{39} + (298182427028501439852253897092a^{2} - 520110798661531046421969299708a - 570568439608846537754605802604 )x^{38} + (-136977777513499994831986374712a^{2} + 455186620764070253739501776080a + 591716281824988477202274682024 )x^{37} + (81863305964915579299618432620a^{2} - 305072016285085661115772696388a - 351221202516685978254225071392 )x^{36} + (-523438694107270718453080300096a^{2} - 186588836267385687453330198176a + 26077809216706808695755296368 )x^{35} + (-540371892210751907385490065452a^{2} - 350598609498354853083076228180a + 228993965062872844114447194900 )x^{34} + (27992404222812453227614608368a^{2} + 258411710999119435368614734536a + 61121787008493585795070832248 )x^{33} + (-517581952371022904535752857778a^{2} + 578802931894883897958588050606a - 59925547735608641083505265972 )x^{32} + (-45606377152302711733782088064a^{2} - 97800756953418391227326947360a + 251910007242128011357993273376 )x^{31} + (611693602384919446157077572008a^{2} - 242864187121396441231677374176a - 70543117793804225131531185672 )x^{30} + (101941830100261047398604814248a^{2} + 467060858239670821278009525000a + 127369151050200017209578454752 )x^{29} + (553345447591974363219540601564a^{2} + 417432963274985637506807969828a - 613608228911772294932895186920 )x^{28} + (61548099854939861720636832512a^{2} + 459224827628538919051627975616a - 169741256733225584808141814336 )x^{27} + (210361929030350320783004979696a^{2} - 230501080203391713434903158088a - 101006296502367329398421840008 )x^{26} + (238939532324901536723367458952a^{2} + 128565626511213104839636692264a + 530477041704674183403039346320 )x^{25} + (-532161496234231752041960487192a^{2} + 38344175113213338021014314472a - 215188829738136583840294894632 )x^{24} + (-615494011644849836620105104864a^{2} + 33286601013204062375117472640a + 454940253775827891942916596704 )x^{23} + (-535632189981378743961241615888a^{2} - 527280217451881449898478226360a + 41265840531763612422347171680 )x^{22} + (-236656721842437689804664167056a^{2} + 221778479434587246512903972448a - 71904630289689137342446396272 )x^{21} + (178591118068603727114656676120a^{2} + 516615657233635121434138377792a + 399624892923224336760935329720 )x^{20} + (391388381213132087825844676544a^{2} - 163583968868383864872563203984a - 335963860573573431621452028368 )x^{19} + (-581732672469910207071658843848a^{2} + 323810951880454358208656752944a - 557941676172145037008793212728 )x^{18} + (-500351004285756633751642654256a^{2} + 538573023755524496205678325664a - 456767290802039472286807020384 )x^{17} + (-457473381568105940570802689816a^{2} + 392203306041942112064479490472a - 516234111270134861004908685212 )x^{16} + (-177619539454412550828164013856a^{2} - 341684555295678723814693900576a + 451603827547719352402314333408 )x^{15} + (-200372997904238631649838696352a^{2} - 141415918618190466015447223920a - 598389306970787024664838445344 )x^{14} + (80590031073976008238442216480a^{2} - 86942405412132428821610919312a - 443771041880376425132030327184 )x^{13} + (-156640745509768081790392509256a^{2} + 77281991212817210085765540576a - 265997895083241590240395782656 )x^{12} + (60809034565588163138153084576a^{2} - 32195352253795130042166558752a + 393300308054286192814563205696 )x^{11} + (-430353745747870102053517769832a^{2} - 194649488852116004205170951888a - 551629047317871227277021551792 )x^{10} + (410764019958171144476115589296a^{2} + 363048504688164747644845707120a - 434581390860798233744148206288 )x^{9} + (605528752359852168162195000808a^{2} + 448257600464284423370225809420a + 621925184971313946598916772224 )x^{8} + (283937930878587897245640393856a^{2} + 91823777284148248707490173888a + 68958525746110318557049401344 )x^{7} + (-101736235775467944937579170496a^{2} + 240105313513396632264355421840a - 589674100244956002553690493504 )x^{6} + (81246492881476425577798378944a^{2} - 398875513945053035711594612448a + 264989056485605823766625999584 )x^{5} + (225047958903863157650755159904a^{2} - 345218484566903906164943012728a - 202641599257586701565417464784 )x^{4} + (518772672011328981026067322496a^{2} - 166871507349342260411238905824a - 83413150968520410479229898848 )x^{3} + (-9487972582183073036393474576a^{2} + 584943817973779568330521655312a - 413366782096206922108121085504 )x^{2} + (226512041537060635754675412800a^{2} - 237499438709059681057095694192a + 508576723464595878645834607072 )x + 510054600136494505941493938688a^{2} + 107142087472139582187853824412a - 203172434589348418508362888376 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary