← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (341273386945831723764215884044a^{2} - 117228270831231353944161376396a + 58647857685204257768409854184 )x^{46} + (569384670928861599094709878008a^{2} + 561051363150502815374912567488a + 428238316093928521048206313120 )x^{45} + (-29202996496740476686370151328a^{2} + 576792976672025649943464009876a - 157044162271690134856220190952 )x^{44} + (476049798036807452151415370376a^{2} - 256151236786342152387174240416a + 112683972465367424216548389048 )x^{43} + (519281738165744916367277554380a^{2} - 345554528889859928014987434412a + 507727109040370988907422355104 )x^{42} + (-210054935462600831712546127608a^{2} - 424631599669677016777294938584a + 86563150729695525913308247400 )x^{41} + (-467704611637217660575175062796a^{2} + 333261820751074800970157997668a + 181969118767281700902079238816 )x^{40} + (-253422901718441303008244061392a^{2} + 297835275120975408770700207040a - 494694095874987289740703659120 )x^{39} + (-197959550819874105406682609820a^{2} + 330163387850597627700920927732a - 400397108797695624651085667052 )x^{38} + (256049251533838132285593940824a^{2} - 266364823918670866895954018432a + 17088592385678523847474587720 )x^{37} + (-1435050162814245996478792836a^{2} + 350456584197838823292879116236a - 426236958617394187305291101640 )x^{36} + (-57659850813089503278467554976a^{2} + 464670932490594432473048976128a + 344988972682816723416389981616 )x^{35} + (49419838612617709782922068356a^{2} + 313726578539759689638299744940a - 258133948323684507118123032956 )x^{34} + (309968098741770690407556749568a^{2} - 219564808056799543622835679720a - 2851429866871563149107318536 )x^{33} + (254640888971523159875771228002a^{2} - 54579197486528705883252628106a - 42836766571750992677418417720 )x^{32} + (-132812703557833635521242871520a^{2} + 259423295288890304979043284896a + 2111526608714956811209225536 )x^{31} + (-598182317127374894147783669016a^{2} + 28010793020225698704799590400a - 50424964640195740950147218456 )x^{30} + (-249584698477611454148621270520a^{2} + 357718965226022025930139489992a - 180159265797499627185611833024 )x^{29} + (-415809550342854629425286661708a^{2} - 143263733138928833633166205108a + 588969584251219564332899291456 )x^{28} + (446195341241305468142304940928a^{2} - 267641596795264742634423701408a + 10242787842399466274459496320 )x^{27} + (150874012033705783291888496592a^{2} - 73970512441762419724701659752a + 561573544999774246966738337528 )x^{26} + (-562328204006285465987798092904a^{2} + 244201522518368841262385216616a - 258624656276103693500876641344 )x^{25} + (256616686823079164085521230832a^{2} - 605807974498403391040832644304a + 181214016918974986522794253960 )x^{24} + (-165512162412856728205609938304a^{2} + 491813181824638917772416071520a + 482109526853498293971174493248 )x^{23} + (258053474898120884512989133024a^{2} - 71428679673449402778562452056a + 97088582176358553873312976416 )x^{22} + (-553361420473406585133055293840a^{2} - 448100963473409756645481974048a - 336775297727061099926638815920 )x^{21} + (150556539015442535450821142752a^{2} + 564511337457761590136447894520a + 242930110600344275779962516248 )x^{20} + (-97087995565852950330444256512a^{2} + 156091915032835289084156219344a - 105914689082376954680657258064 )x^{19} + (-557967861070319676765670057656a^{2} - 36267132302381236501703744192a + 320842180285560183393456613704 )x^{18} + (17404530096780043303967862672a^{2} - 305704296828511488081069012160a + 20670729715583967559159794080 )x^{17} + (591316851387041372071998828000a^{2} + 373415933467380448665759365376a - 47329933253799133700699841084 )x^{16} + (-350250570227670629461050679840a^{2} - 557258413214425244175658773088a - 293378178720434231763500729312 )x^{15} + (618918383793708283879755400672a^{2} - 197784144174292256288595870896a + 71356751089545988932791828608 )x^{14} + (-235603523790940474180518786944a^{2} - 226322864859259780725950425808a + 221959576841033697272998483312 )x^{13} + (48308378686018134268960423960a^{2} + 418101063243897035795940350048a - 141601784655578918230627150768 )x^{12} + (-31963340653902421684827976928a^{2} - 416256292000842129446696326272a + 594623257175350599269411101792 )x^{11} + (447840733832170765330874378120a^{2} - 364567088506181674474730568480a + 605545058949031671574866626352 )x^{10} + (-310637945535689818667022667088a^{2} + 302248829452981381907176143216a - 418290334594393977835293288784 )x^{9} + (2693045294658634330724479944a^{2} + 45585957248154520115847345404a - 63805299714359927340310117712 )x^{8} + (446309435460896185487832397120a^{2} + 133702628032303708480772073344a - 212629095264668166424572850752 )x^{7} + (48276681949363226410211968800a^{2} + 92317865005071388494264371184a + 42086375188490864955151585888 )x^{6} + (-252354075235723230671782488320a^{2} + 427449803784303579348546361728a + 328175282020809735239140820992 )x^{5} + (91675152422426560251055233072a^{2} + 81104100033189638138978026488a - 574721757476638320706878164000 )x^{4} + (297789730780540605790799190656a^{2} - 387476180551738626070841824096a + 519330019966924328137093016992 )x^{3} + (185395807400312210085480503392a^{2} + 382456122224606287689879501856a - 610170342943690270830177995152 )x^{2} + (-333845421090518842953849309632a^{2} - 535065923195618148589736081008a + 399758867111557928203957081376 )x - 369152506195487643883066954368a^{2} + 350496144694381742078826162652a - 313825170313756364989069503032 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary