← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (579601214011222699627121692684a^{2} - 339345411602130681355295285548a - 545250234870523309192419246928 )x^{46} + (138758297188531014531820106232a^{2} - 425163656050296481256245847328a - 36697541968458541532858478656 )x^{45} + (202896759555783125564557974568a^{2} - 77750018882023401418752549244a - 105280228696608969964396152128 )x^{44} + (327749088024159010547815918024a^{2} - 542838641332964770454710755744a - 466822763748273528888853525112 )x^{43} + (-414743807837340524971270258204a^{2} - 427334601710869498891913868780a + 357727893394615111795810873208 )x^{42} + (-491960252117862380145468258144a^{2} + 353138675247608064000417870376a + 135817586521556364576522917104 )x^{41} + (429891474472966010525441973396a^{2} - 103795646635668566346964816900a - 9461748611127864632368212664 )x^{40} + (-344230650295437680160990187568a^{2} - 404048469484943036409112282592a - 272823432857243443379415033584 )x^{39} + (-434937976838818624326720715660a^{2} - 417640636118151785441525618700a + 338767976051055819100131767092 )x^{38} + (177546590981290802523944630600a^{2} + 66342668194792164968540469296a + 286698545891680698077643259944 )x^{37} + (-555741282391431048092311292692a^{2} - 272715774359220596898696785100a + 506235947367661637422572270760 )x^{36} + (115134862953349947313788771936a^{2} + 345007777064295087471272591616a + 477782069090956012942799320688 )x^{35} + (153292697745567748428979848204a^{2} + 60492181543821308251879281732a + 545908383109767191761302531620 )x^{34} + (528815247307129676376628075600a^{2} + 235547147511295099835660960536a - 495870647478351137041990394984 )x^{33} + (370323554595997705793357277270a^{2} + 310493227764718545383356770482a - 59107404054245973387376556196 )x^{32} + (254939489585731155553562534240a^{2} - 608559982230843179792631968224a + 180704269390204630845448860992 )x^{31} + (350262813444392647490056883528a^{2} - 170368470735533287650631721936a - 380170138156932031200533835896 )x^{30} + (499008349198513898512572894024a^{2} + 575441924289999814547312028488a + 272160801475397887847639028864 )x^{29} + (-372609142287923821944281304548a^{2} + 600714034735660856001580767652a - 125635839302091403162036980856 )x^{28} + (-349944127781618119453992716896a^{2} - 578040560823445713479254821632a - 507100763857592646049894890240 )x^{27} + (380041109880321839040770746048a^{2} + 586981129375472391316829218136a - 43647233651912705248482661848 )x^{26} + (-381838354212359982511898188248a^{2} - 111917288393874229656843344056a + 79428827092949557190910173408 )x^{25} + (-171390877390476914479745403432a^{2} + 425627971032466830586876888536a + 540658813619370111375196506888 )x^{24} + (-468127464481610511151950599392a^{2} + 478018762732817279178089289536a - 572072293066848685717597486080 )x^{23} + (-623385061715868844260205797264a^{2} + 478107851646931144043019697928a + 187830334004641456654159964704 )x^{22} + (-325837602143736256411177001488a^{2} - 558072693210603476433757108992a - 411487072093960928816088253936 )x^{21} + (471662476159815395330795090592a^{2} - 361582595958919527512345991528a - 331663021999996646765130563768 )x^{20} + (148689984235145891817173705088a^{2} + 324438051263166771947229868112a - 184038153763167807811532565072 )x^{19} + (-306803021847001741313885949304a^{2} + 197890361301299395134982057488a - 95942196668407300216246050120 )x^{18} + (346971223328819475877315541456a^{2} - 236680331403046826922209202912a + 359915375651120724222776398112 )x^{17} + (-41029352953334596133791654320a^{2} + 425305957440217886877506698544a + 59969417148532435036808716196 )x^{16} + (17756785307138961289770034016a^{2} + 156309378092281384544870384608a - 278017825442693703288375888096 )x^{15} + (-7014935905778085022627570976a^{2} + 281005959630629158777269526768a - 131249964976593746597346483904 )x^{14} + (-142197787136666242574230989984a^{2} - 244278442923185904537592394672a - 227330016978974144439521318320 )x^{13} + (426815133597998857650244546072a^{2} + 355384211209568460455373686016a - 177340266596939115765849739088 )x^{12} + (112719030389526486656463674784a^{2} + 305310078359520610005992763712a + 68122593494948499031172166624 )x^{11} + (303598105103605398851885511656a^{2} - 443306837493822173789063955072a - 355075101984804677508379547040 )x^{10} + (-572304612818702649207894289904a^{2} + 347568046620475996878943910704a - 46332729119898617950539567984 )x^{9} + (-482289483244393261166965458024a^{2} + 266807806985570390081796497420a + 169114574854655735442096280080 )x^{8} + (387713615459753398364800221120a^{2} + 87801923232771842975691010368a - 400289173191049228855039397952 )x^{7} + (-44772773836499881425806662304a^{2} - 213816163102123103240342466640a - 10552078785893916610360989984 )x^{6} + (-481390904760144407717057923488a^{2} + 205725285820278354146265487680a - 614682257452255161084739316672 )x^{5} + (-348743605150183502004826659024a^{2} + 578580361247683529000887411000a - 45499914983967393527993890432 )x^{4} + (35021515084698618505948748032a^{2} + 356169190779412644796855351584a - 32535593015994760363269480928 )x^{3} + (-314767345780364562469450173664a^{2} + 408073960801718493111308441104a + 362986391723483115636094539120 )x^{2} + (-242628555584588435997168902848a^{2} - 324979293595466119720666068848a - 178734855787043695786445612224 )x - 85901876446897064152294526896a^{2} + 398983767052133734028709096284a - 190387152248073103869559340712 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary