← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (629149284242054677354677369812a^{2} - 49584393927967145171444531964a + 520014018510727738350354786896 )x^{46} + (259760668998124896148187503448a^{2} + 482592325099396675826432776960a + 126798695396355585695117904288 )x^{45} + (-91768292040452662400994300272a^{2} - 172239763402440304366801423228a + 612843112206112982478417021520 )x^{44} + (621359318852105301118157082936a^{2} + 291824648280288139787053040896a + 484028856046212177114515283176 )x^{43} + (-552325980458492921721814443756a^{2} + 52138187171211393883273859396a - 164418243508733352410871570312 )x^{42} + (-120353343327697128553399429744a^{2} - 620200817472790780528058189088a + 169895505805348361212105099672 )x^{41} + (200591468140246616304754655468a^{2} - 13311528974656505866864243652a + 548570315850608124040661362668 )x^{40} + (-552354260838198671417752863632a^{2} + 189593259720099186845798507808a - 87094131094312208037446592144 )x^{39} + (-53840159511214899190580558444a^{2} + 343641659381533671101120363204a + 441516394886360789726103970772 )x^{38} + (-368535523451851746308865992488a^{2} + 383456275276930675592589596160a + 183099166250793182572128083592 )x^{37} + (-123289237531236658562163293828a^{2} + 549696467163277771337884924980a + 199288685822248331932291754768 )x^{36} + (110565481731019343265579699200a^{2} - 121343984607176590488825644000a - 408798052781039192986594341936 )x^{35} + (-570908021380412244102854379460a^{2} - 27455386888940658694146663996a - 361988374114576487327817800716 )x^{34} + (-276802839380536194705924821536a^{2} + 67034031525588342763984743976a + 217329572773078729966111106328 )x^{33} + (-169648998971973529179366902526a^{2} + 69681445065421975743949074314a - 296539501972082092806342033800 )x^{32} + (239078418157496409732630124864a^{2} - 224072436700769689395572506912a - 263332629808453733067113599712 )x^{31} + (147851269987959861425479541448a^{2} + 114228122656387524523406987440a + 298673865976805416520391872920 )x^{30} + (422163076348851240443742702888a^{2} + 342088807488904617530843396040a + 527878539273767706328631576928 )x^{29} + (-609898521096166553650160336348a^{2} + 193328354344952509142904502460a - 39704591541084876264694710928 )x^{28} + (-565735989458246426791322718816a^{2} - 60122667876909240059935284000a + 373229404047680758566302733504 )x^{27} + (-40721124737128116920526700576a^{2} + 234069372509469773207113917560a + 318269849718772188917645003752 )x^{26} + (375813323081025943035423090680a^{2} - 555941818708887591479667872344a - 409527175460934529257173053008 )x^{25} + (-113474005030528956322530196352a^{2} - 186985694184218489627012322608a - 410291171988042862455397562744 )x^{24} + (-8972919331231951012995429760a^{2} - 105430945141416759417722253984a + 86254264104162234070673597536 )x^{23} + (534150223472770793773186809056a^{2} - 353794716214917168516543903224a + 415046909047631045971577189376 )x^{22} + (-479672250543101349911456546000a^{2} + 88092824232598946784036566720a + 433156817819268213928613833552 )x^{21} + (-325089623313419422989189558056a^{2} + 445662730299303455842413180864a + 185617693931490927776142103976 )x^{20} + (-632438955378428240684742628096a^{2} + 91570907905999763058618965616a - 484041070261825341780988126160 )x^{19} + (253186787050407216160031092216a^{2} - 465785478627004285281750725024a - 234027056771726191824983129768 )x^{18} + (-122184200672260323136965668176a^{2} - 203027082099374363807863497408a - 379129373798110690124849065472 )x^{17} + (-376423293673795349336208548488a^{2} + 111582437349606384559082516760a + 524856913904872387464134575748 )x^{16} + (410956025053053621706980803552a^{2} - 195105559170466251506232602976a - 36446466948452762482889654816 )x^{15} + (-477750517840056678832288578464a^{2} - 425287969650915725799555315408a - 316007042514897556981674477856 )x^{14} + (-138673992224381219857711413504a^{2} - 503618975617929610189016772528a + 196202045609854037218632403024 )x^{13} + (360740154882921969676249594200a^{2} - 259730842262798093010752585536a + 52692129485715498978920234432 )x^{12} + (433842636401251649586983692832a^{2} + 392730188327356419143323182240a - 480652664252677734371718934720 )x^{11} + (-287796936433603492239834976392a^{2} - 96521260489015382241661449232a - 598836045292853056555859716736 )x^{10} + (463124719305033897750646354128a^{2} - 108369161360945772813900497104a - 67094924553317587083135669680 )x^{9} + (-307163295677196219214745591016a^{2} - 496896459629802932780695490372a - 231372504015592307544693581248 )x^{8} + (-148978810194381836696819639808a^{2} + 383590498249619164091616313856a - 588892710783791084120449966208 )x^{7} + (-193205832794017459237065542208a^{2} + 385677235020496615007832834768a + 297819963308893323892487304000 )x^{6} + (185950536004310659969101723488a^{2} + 141204198406749300860914993504a - 236395752527698790242803301024 )x^{5} + (-253322567903372938587942585344a^{2} + 462113648917249437415375454152a + 391716943344612461586037050608 )x^{4} + (-477546413840198554614200803200a^{2} + 287598727699250668908092522272a - 516522264789955670289176158176 )x^{3} + (-594737792976885827259193733008a^{2} - 220246197071661165864698313184a - 402822227086148887125684684192 )x^{2} + (584887887298828286235181590080a^{2} - 454790660669776817706631684144a + 600005576652763090496959474368 )x - 138010514360062203880754296752a^{2} + 403761176892916149516560068188a + 297730915304732875418293197976 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary