← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (-183429854091911823468889488628a^{2} - 143840650310290394602076021728a - 476189904989239857679331700600 )x^{46} + (-554264861604578154574889971824a^{2} + 350984232066072190399821429544a - 283440964196591823637177237216 )x^{45} + (117106651049731512749240216544a^{2} - 537061263160373154822626158592a + 423904637523614144946877682860 )x^{44} + (-441854594090054775259932237664a^{2} - 933791049733773590304339776a + 439153638989053299385909484592 )x^{43} + (-291018024708196011101297538212a^{2} - 604921733792272649675942713972a + 469894303773478951280926501140 )x^{42} + (322645878900678095727748911048a^{2} - 147069184580397851984718307088a + 545360527307583204886975650384 )x^{41} + (426056010229252362625315123348a^{2} + 410014415845560401539310580664a + 189119234940661593491619275496 )x^{40} + (20228087109593117652766045152a^{2} + 580387252584750853984244375472a - 276310833557518927151988566432 )x^{39} + (333215676428547872850057837848a^{2} + 188256288194687434674229605848a - 377560917235772538126838522504 )x^{38} + (120684282390247225284575687400a^{2} + 593326342268617948597223734160a + 247782483137633098759228299624 )x^{37} + (604733453194114236397155823208a^{2} + 22105956425765397818716974204a - 539988634520309853667617793164 )x^{36} + (-139594812878574692071501832400a^{2} + 11353010084996464250294897536a + 41274109499482505137347576768 )x^{35} + (-281157881631460589100958847524a^{2} - 165479531106516962832144557956a + 47228105709662978809836155636 )x^{34} + (312088035267182450372635460800a^{2} + 405598704385233062406207218448a - 458622369016964050829905348304 )x^{33} + (-505659672075030048236563193818a^{2} - 206566444254108897684466109568a - 464381693332773675774447942542 )x^{32} + (340993341592667886756112466656a^{2} + 344629683339968655455265292096a + 384633489810927344760713713856 )x^{31} + (269183180172937417075532377616a^{2} + 439987856246593546402550235688a + 465258003787159378813705113184 )x^{30} + (-66479492759002332590366758408a^{2} + 493726243401792597325701106224a - 232185888543018959405117097088 )x^{29} + (-118731950966543758663513331144a^{2} - 139396381159392330099476071908a - 619463896465967745448741410516 )x^{28} + (-430858328165850959248862423616a^{2} + 588203175916929443777158644608a - 577862357393212967799051402080 )x^{27} + (-579657381409046232193733902624a^{2} + 631685364338812948644185553760a + 469603549924340788856093393512 )x^{26} + (423340858073938477726671574848a^{2} + 230255843640144742545982133664a + 170367433634697042552692579072 )x^{25} + (51986293352155823335014233076a^{2} - 560397796624466631446669377776a - 398317266002461206798273139656 )x^{24} + (207923806141676399009531761664a^{2} - 247770274785194089858227424000a - 498824552173837223641788905584 )x^{23} + (-68908143522733450903636876760a^{2} + 617021280295877987693251363200a - 272183035556116612806275126144 )x^{22} + (490834144420154760676328740960a^{2} + 396389309880858851217114870240a + 549637457720043924751164412080 )x^{21} + (616766572757924147694433646088a^{2} - 201446497312888087095969104056a - 439774698957643191400354755432 )x^{20} + (-383032260156175347285365082240a^{2} + 276630302333539805329625115392a + 210548563981791203853572234464 )x^{19} + (-630184059134156196379318516584a^{2} - 370514401665547829878956128168a - 210234804130576939987402212592 )x^{18} + (316145811906884681908078263008a^{2} + 232930926984180220396762255776a + 485192637536057134184449072112 )x^{17} + (-183476362615253604616885830220a^{2} - 506399300351376939893347851732a - 402296165634327373679856096520 )x^{16} + (-305215605718937776305541231968a^{2} + 49767357447530711244210983840a + 537745931679125563182515679072 )x^{15} + (522071821611092034496382052656a^{2} + 169587573354968810400004098568a - 79757136056962045253883409856 )x^{14} + (-523046582032026214464581063248a^{2} + 364299400873158219597327455552a + 46655313611976949151414920384 )x^{13} + (472905207551291277955166403048a^{2} + 140603620976804508605056807056a - 40884929014620356781390631664 )x^{12} + (287674487613483339588477280448a^{2} - 57335726362443278794777509440a + 420902873469503928009347110368 )x^{11} + (226223230858896867128044272536a^{2} - 455508564569910354977912372120a - 330288618142075552169305076808 )x^{10} + (-266507426571539360622602986784a^{2} + 410147757272763881256900192128a - 555037449349215544208360672800 )x^{9} + (-272377075095769922084663751132a^{2} - 10570037908411367940506015712a + 145134456721394757138750125828 )x^{8} + (-95509503796421216870000130784a^{2} - 485479612921671782774255513920a + 624422356277800127582624319264 )x^{7} + (558169874924763636862000000976a^{2} - 13852135767989078324016349568a + 63933879865665954889661898016 )x^{6} + (-472990818543527884993831029344a^{2} - 374541953319760361192596855104a - 9648169226161409666309807840 )x^{5} + (-88037192756365071198135989136a^{2} + 406429352800551672421844158440a - 344961906555933039360066264328 )x^{4} + (-629027585179938966047394197312a^{2} - 216491491138557060243944531328a + 767264008488246602994694272 )x^{3} + (-226240770514258012317375314784a^{2} - 63817839849796518717460210832a - 84464889619796959653040316416 )x^{2} + (-174447424080198914812888882656a^{2} + 293564466979095704440441141056a + 193895963621849461727766395328 )x + 122565330129422422946800769368a^{2} - 395189364052128173125256816464a - 268337096332141468765468833716 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary