← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (230618949796441187547382796868a^{2} + 532201450098053151971628748680a + 238269121371192373951884215320 )x^{46} + (-267538909762708411653260267280a^{2} + 471559203480982200118263469992a + 366289494053198718568383205040 )x^{45} + (409454904277004791677219184128a^{2} + 626203550965793125927716822888a + 142324158467071549913260578188 )x^{44} + (146002437468570053509226879936a^{2} - 21922355811860126142158088688a - 78391292444424506323136236384 )x^{43} + (259923798177125301483216829196a^{2} - 558615781371432391295551238004a + 107613529445477370685286700532 )x^{42} + (84800176073460392181474086568a^{2} - 465221440115043778014517753064a - 316722351543985225110083680072 )x^{41} + (-501686233971158727395053045732a^{2} - 589496567501029774069943962100a - 229358921905298868269565729896 )x^{40} + (-246862620862492172501375325792a^{2} - 285525487159811380923625351344a + 316158004427989227095708021728 )x^{39} + (-469673787675286310338983252520a^{2} - 178347413601699574416753747984a + 342566753535730456591731117632 )x^{38} + (-321697507344898773764170777272a^{2} - 580903451973415333073205186064a + 498832012459202330051639765640 )x^{37} + (381226234224273454119809184248a^{2} + 327988548593445010293516984652a + 334698854869746009923762875292 )x^{36} + (242135683136960890462830614816a^{2} + 607812201873509810353302245584a - 563651829086785698953825733808 )x^{35} + (-553763825810959587078118660148a^{2} + 627123860070427668323963159956a + 565003394823306603326812612580 )x^{34} + (323334006672466107831458050768a^{2} + 79941406870941859539287960704a + 45442798447481704778911127776 )x^{33} + (100807217787091946955801955750a^{2} + 22670444526870305815786805148a - 102046250343775809951644133462 )x^{32} + (453478018286805667884816356896a^{2} + 293806282247556725901877037504a - 464489500770385730640551713408 )x^{31} + (-513675531760639262916025961424a^{2} - 408472829951855395503870374552a - 410089755518336281711544882560 )x^{30} + (314586394790031162307773821592a^{2} + 316546588724574349415888824944a + 96063271034857583947603747552 )x^{29} + (-529833895459556917778511735936a^{2} - 102732607310508929221342825828a - 543446557660230047538391960764 )x^{28} + (-334860467155930714494057190784a^{2} - 48652860623796869742357921952a + 583299003191688512850577032576 )x^{27} + (-572527907225478086278169249352a^{2} + 328599288096044731288606935536a + 307295529735901979969154121416 )x^{26} + (-504246557171199256886208254336a^{2} - 223169075283792888323472434256a - 238627280970708541037772895920 )x^{25} + (27860999612937825686281348780a^{2} - 582667008383973710266872847008a - 370659496986672722352084371936 )x^{24} + (-70121479305617613314131347968a^{2} - 181150671825444215768474900416a - 58974156699631831589701646640 )x^{23} + (390544563169103997443334906008a^{2} + 311422486953845051499177993568a + 172286577471092784320219106032 )x^{22} + (138429202830492992672188959360a^{2} + 561582159363989451217693082336a - 399819871863348209908630330576 )x^{21} + (-15893014021733899967271274576a^{2} + 435177746004703259251728888400a - 109088594815587431357027510216 )x^{20} + (573368753067346682351420511776a^{2} + 517313573376237786120364353088a + 37488624165898735732141673184 )x^{19} + (536879236390208516645555813384a^{2} - 114308557330449265484339953880a - 465978109439091751083040205232 )x^{18} + (314042529513329125178424308224a^{2} + 186271851937646583533249357920a - 505198551168573712950563779792 )x^{17} + (-589574834273402806152684335996a^{2} - 139527500851904748971449872972a - 549861220243567166913317912968 )x^{16} + (8163832313396977205488726368a^{2} - 354356533457639470226178100896a + 439377277764376208820343442912 )x^{15} + (-41543564016436450867862088976a^{2} - 440073711330734754518228132984a + 360485105852771093099499168128 )x^{14} + (-471426198203278204002268649744a^{2} - 594952004917903089524417363648a + 9498541425355932311825742496 )x^{13} + (51311818022156123221492219832a^{2} - 509883564130720790922981608128a - 160955629580550289751098884528 )x^{12} + (-195979000763454105698341432128a^{2} - 282758012209618246082304820736a - 392975791971662103118968452704 )x^{11} + (491241447565501303767116605592a^{2} - 624342845434934730758455532744a + 510838577775725994855114786440 )x^{10} + (-399318687931528470244853090976a^{2} - 89533157070127666040661320704a - 328213074131113214691628705216 )x^{9} + (145585184950224233481890257796a^{2} - 236281625556504214643307900784a - 485965885292686921488880469116 )x^{8} + (180566248287859309264198146336a^{2} - 17625697041056484289271934400a + 559229390083420363383890332704 )x^{7} + (219862628540024994342873692656a^{2} - 16330733774131307960204817216a - 14510486445959008831419123328 )x^{6} + (385500759820368962412505591168a^{2} - 393527880276955697205643366368a - 47567707460683679687656969504 )x^{5} + (-441406715178805431972277692688a^{2} - 473781583064769076521805137896a + 195940253016951635525070153784 )x^{4} + (130024561783646614431032537216a^{2} + 67179210880513173383601125440a - 229577536790867230687452736576 )x^{3} + (-494283086289741973207901894784a^{2} + 297321248532687686063962208880a + 71193958649409833820649961984 )x^{2} + (368221595298140155774324566432a^{2} + 601787419968083260290650864128a + 107569460566834387474748232032 )x - 317530786272530406087246435528a^{2} - 544881545856272302380754017632a + 208919574232970201028626334476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary