← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (-596739676836345204150341879188a^{2} - 321397357513999315578794961992a - 10338973989586748256319436008 )x^{46} + (92306270026574051787013163520a^{2} + 138537467427846490354086570968a + 249087124910907929650366610528 )x^{45} + (-95373895029957499514294160304a^{2} - 444666606979547019177244570120a + 9133691534744554498895930436 )x^{44} + (625058535548762691436634763104a^{2} + 317938203544708633328938996640a - 356773526127151959603855074560 )x^{43} + (615975967441895438601776825868a^{2} + 488086280164040391526680807260a - 555996674477056247680988127692 )x^{42} + (-633050129418594670880005847424a^{2} + 39956732882581143968424434280a - 309229716788730508124408490272 )x^{41} + (-495442304762771545216833462700a^{2} - 597677591610817281764219575724a + 282800292615513687924663986216 )x^{40} + (-488354355657631445790308217024a^{2} + 228159053315130465824052258320a - 381067994481811887852668790464 )x^{39} + (-274590262942615485672704953392a^{2} - 484565708018547771283946189424a + 529803743781042574345980945488 )x^{38} + (207461696525516569739729127400a^{2} - 547674457835539264901099867024a - 394969180471739137838334276904 )x^{37} + (578798293918886791734547734680a^{2} - 553794458065746699592212104980a + 326962003318370218484476965036 )x^{36} + (404870768035494697919426361056a^{2} + 453244512486332490286912215440a + 384615869868566780850874639920 )x^{35} + (140645544108217926600107447452a^{2} - 315572000964194095909756861164a - 339462595120462752426915246172 )x^{34} + (-483368664462231705540346252208a^{2} - 496105824909205649464744976304a - 265595200342855664163466807712 )x^{33} + (750898943687895358629876782a^{2} + 257100450009534337054088976964a - 218678222216909479958806293050 )x^{32} + (-449367660947022488621631828832a^{2} + 187427073256370647090229105920a + 535993812987256202954525468992 )x^{31} + (135783213014703132204163221248a^{2} - 346182259777019418081741006056a - 77269765412463518623165874944 )x^{30} + (600462272288668184635738135704a^{2} + 298051266033456145832848916336a - 287839617437533326780369777760 )x^{29} + (-607513407139063553537293376520a^{2} - 313674938153429791095570503436a - 50250924820602369667346965788 )x^{28} + (-581051017660719463575481349632a^{2} + 462085892870297072108435748896a - 97544965592344297135835727936 )x^{27} + (-458559509137671325795034175024a^{2} + 505989605095674000417747767944a + 492576323842581178911160144784 )x^{26} + (19285243821513730337012888400a^{2} - 172121100111065014286045867920a + 490912245070651601096301020128 )x^{25} + (182076142445964846603265296764a^{2} + 150512208419798182318055017656a + 573704869557753472434809945168 )x^{24} + (-167962459494145085542191136832a^{2} + 211822967677968018391218420416a - 212600369270352241034176027312 )x^{23} + (544424786124342681540311125784a^{2} - 84991797292986238192164869200a + 50186745921086341959912364672 )x^{22} + (33797545792371672273735577920a^{2} - 53414884788585257913293194816a + 192134869588152144077959238096 )x^{21} + (-439357718298016169415920100384a^{2} - 443901642406723472015159977552a - 239464950520336845897250313384 )x^{20} + (118507082135372214158570538112a^{2} - 129866090415220301702588599872a - 167624993402810979041543283264 )x^{19} + (238017436058547131399552265944a^{2} + 82662588961088981079619261656a + 339464147585463976042541962432 )x^{18} + (-390125440673831922483757002368a^{2} + 583960129095335643039348955712a + 95273962094508762802169678832 )x^{17} + (-165186687217715179133827533916a^{2} - 576853863958573507700127042908a + 61488498835774100663225006408 )x^{16} + (-101399692871847623386706160352a^{2} + 293008503401653711140717933280a - 254027287612694208603149638944 )x^{15} + (-626627439361345614479020161168a^{2} + 45467686054487322127678709832a + 401126832927475835746306468640 )x^{14} + (-565062850899388911259894089808a^{2} + 344655465274344654869361537408a - 85023254325162264362548494400 )x^{13} + (-371337940709716929984306184520a^{2} - 336058419911570388223119086976a + 528494524868029439881837051888 )x^{12} + (223232823203163729890217048000a^{2} - 513915157701168681396177254592a + 207507463535886270396221413728 )x^{11} + (-446978870904801265520259404024a^{2} - 310570061743810381332478194984a - 246171153851094568497319127624 )x^{10} + (630235087398451394816121497312a^{2} + 267594424191584091824901980640a - 240204181331007879683442360992 )x^{9} + (-138049134465387071453267451132a^{2} + 618647591275261106602216791808a + 153851775066598994607679185652 )x^{8} + (253487637909375658130078732192a^{2} + 1568843615490403738474606144a - 605183717204762771688325422944 )x^{7} + (-183876788115828264933310679728a^{2} - 405296819117565396356796774720a - 156600788393005240839992759360 )x^{6} + (594698971702650995664358662208a^{2} - 432278866486141185076022289856a + 27296177338134246248115945280 )x^{5} + (54050486904875765181132131728a^{2} - 83678832789521598547581475944a + 445963576267300479592367058008 )x^{4} + (279864889011925712161439235520a^{2} - 522301190442866109778976890304a + 544669770144162325204229536768 )x^{3} + (-269716596467241215242886934208a^{2} + 403662146998666128193887472656a - 611039041851436696762477961792 )x^{2} + (148884315716630366300707000736a^{2} - 288396489600060296106707451360a - 208213285435987860177861919168 )x - 274150055721906692522452012376a^{2} - 105405660504415945557955621488a + 487132048307405554472335355420 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary