← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (266899412134599546792660610432a^{2} - 56439228780204141932956818656a + 385745215060272569085585466448 )x^{47} + (205083944104888032826050357092a^{2} - 197716351552784051718127499136a + 229990283337507973411933552296 )x^{46} + (211952914295264073973529902752a^{2} + 120749412494359503877661136920a - 514757563407447023405289475344 )x^{45} + (-626134158994719773472643598272a^{2} + 556174522140835687976269293008a + 52940773041974313297296654948 )x^{44} + (-465845562013680432778330314560a^{2} - 30707279814485921439015138960a - 462141391583263763481936969040 )x^{43} + (517973423468539923595443636668a^{2} - 349868412132897563389266380548a + 202767281145943099480163464340 )x^{42} + (-444524568937072011642680494368a^{2} + 440579151004887808720234938352a - 358226840266853663080513261064 )x^{41} + (-227706182185921930193467048300a^{2} + 597035055522270536676317845424a + 153770376456314107469244573976 )x^{40} + (330462986896239417993663687232a^{2} - 322449896743083118113890914832a + 18985707577447417702953297152 )x^{39} + (-372772440340261413405147247552a^{2} - 105699561612871877552022256872a - 552390676200450907857297718920 )x^{38} + (249121894518685276303377806248a^{2} - 330063936717829389112703324368a + 16533098646859972008056923544 )x^{37} + (205896100466223915378619559256a^{2} + 249430095530063389542740035964a + 210977884703403787466410964372 )x^{36} + (586917179414033032318798874288a^{2} - 629233640647515635298752560512a + 93137257163886699869593841248 )x^{35} + (328701479549333434130529570908a^{2} - 233672422937394555697270663172a - 34644664224888195766417612764 )x^{34} + (-381090856057962788314518368992a^{2} - 222985357346399530557539660864a + 352067230368458992028990309808 )x^{33} + (428922332290014292973376779878a^{2} - 250104119538466897387326317528a - 619020546590355953096507566770 )x^{32} + (-209815792129401054162381859616a^{2} - 495687380353779875589304839744a + 226831306168738601627862376896 )x^{31} + (201130333247815885010815429088a^{2} + 212111618339400757138609029752a + 613314310494156757490243886720 )x^{30} + (395686234329134397112292545272a^{2} - 272686993342403014220340797840a - 116368672926625892652737666176 )x^{29} + (240522951525847633984033360864a^{2} - 234529863942800663948525326316a - 235773192200226703204314830404 )x^{28} + (-622931594847357278646166448256a^{2} + 304847926165001324971612135040a - 424432939690057752390324310816 )x^{27} + (-473191640961001364849311655432a^{2} - 358534737674207925177199784776a - 416337434738089008690399078304 )x^{26} + (505787749990655376018369215344a^{2} + 607611095227942302668276563776a - 411911938752458074624552894768 )x^{25} + (-537846772235728475443344534588a^{2} - 26254532954417187427737203432a - 576704127366217903466173473416 )x^{24} + (258307076864697022931759660224a^{2} - 544510535160603098548021888256a - 590318168692952307714622881520 )x^{23} + (267467156311061556552575224232a^{2} - 255596650848955470895895146608a + 74971184580848302480064207696 )x^{22} + (-610138828297630241408604684320a^{2} - 62523642804973982181916288704a + 386368329566440407773758351888 )x^{21} + (-443253904602783519959984542888a^{2} + 421155484674650236609206712840a + 222661158042284151979630798680 )x^{20} + (-308527471002930884849050966624a^{2} + 174608927503119934529715515200a + 46400369603069963887939911424 )x^{19} + (-581301945657816551862350143832a^{2} + 46063052357837868168009729448a + 219028928046081920053982301056 )x^{18} + (520543075932836749306036790400a^{2} + 302910800194169768005632607424a - 352179938715565110569603013008 )x^{17} + (-89502713396072887760866850700a^{2} + 267517100498411957075241411516a + 64474432617376025456373565512 )x^{16} + (-495891698517517550892423090720a^{2} - 451793021012037649479916821728a - 503457781269283066668355178400 )x^{15} + (-248947837116225977169045825808a^{2} - 562323088644613462324886861496a + 311932296639270249256032657376 )x^{14} + (-620463994083942255910783484496a^{2} - 456198803011159085672175210944a + 396106437944465364279406072352 )x^{13} + (-464331088809797499492835506072a^{2} + 25516480133964759405846054128a + 413718120565656057649647662768 )x^{12} + (-369824857690851219814995398080a^{2} + 378451396075542601181971874944a - 284724658339594893840178390240 )x^{11} + (-473581902923093264151672458488a^{2} + 353858474326133076964666297064a - 599170751348717761549780893784 )x^{10} + (568035919897924461198116363424a^{2} + 448055126683526960430660797152a - 626758007333220039342541818688 )x^{9} + (-295236796464965196365047704604a^{2} - 133920521465192784793063394992a - 418794877980204652839333694796 )x^{8} + (13746954621315889283738347040a^{2} + 444580847792854783967912365248a - 606763388133432448987545724384 )x^{7} + (173212711988516840018800338736a^{2} + 544868748740094492817603545344a + 194320232643731539845621399136 )x^{6} + (471162886335545562908047319264a^{2} + 326390287724119104975517462624a + 518787944116474147305255238976 )x^{5} + (448570845178228989630197794096a^{2} - 404613997516709507140374500568a + 385479029256944435657395440408 )x^{4} + (-445425160022569501006693345536a^{2} + 325674490410789496936619982336a + 247041842412402667682270241472 )x^{3} + (497395402296308225227832773792a^{2} - 225368895170396542026886881424a - 347334273835364085890732094784 )x^{2} + (195511621170290258110146617568a^{2} - 274834222040502906645319215392a - 256490319885289630329396144160 )x - 583186022125914379029034939352a^{2} - 425714886962227043541908299616a + 311442288788466801645912729564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary