← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (259024260206953896853617909692a^{2} + 447685809764121668284739322732a - 129171438068761112750377875128 )x^{46} + (-54329930935536752944662279656a^{2} + 50796419373863632946993449952a + 249835916020619006224217030112 )x^{45} + (-87760521130584022211883030464a^{2} + 522099956376148894147401589908a - 314187191468393138098386535816 )x^{44} + (575108804563223400927640769480a^{2} + 594491356489379271363844702864a - 611225131198714887450010953096 )x^{43} + (-291182380874783775105253948876a^{2} - 593220409245265412715130613172a + 8119067469958274809872654040 )x^{42} + (-158993294640178877926968757608a^{2} + 302713251141311650077642356768a + 533388047405223030873859335416 )x^{41} + (-64028294252031561730663519764a^{2} - 560407186268607289696327771976a - 490868502718632841793659532900 )x^{40} + (232444548898080457512071556848a^{2} - 633728286738492729598493162784a - 203252157306856775845674199344 )x^{39} + (-276112545590375831605593548812a^{2} - 311850059606967621382736832604a - 265601633464165633289922403196 )x^{38} + (-11530328149020383070698133992a^{2} - 130267729248923616075535252416a - 571416975592304580688567782344 )x^{37} + (22435257683204841950439655580a^{2} + 501589161658357862466346582324a + 278698738233163256792974604480 )x^{36} + (382706309026330382467914219232a^{2} - 626757346859109684922461625120a + 320751758330059771555557901680 )x^{35} + (-82340171169858874284271234388a^{2} - 566733609308151126030219613396a + 455913724702242144121639638724 )x^{34} + (-484023105454070322628940453776a^{2} - 512916351174137780677632497816a - 436674822416105103185679922296 )x^{33} + (-205970307957545535072278783122a^{2} + 40696060648766024667816592374a - 580632210176368041135949906808 )x^{32} + (-539036348245244113714580303104a^{2} - 129721833527440925776149369792a + 27576730449869964428076522464 )x^{31} + (233738611127647876089490583880a^{2} + 334341202695570643640890114016a + 308914670709055413982298973480 )x^{30} + (-189982656041829089629225456696a^{2} + 50365216915811891029463578632a - 81038726867625551836668454816 )x^{29} + (-544668708725161053582654588612a^{2} - 372329950583932195869539092948a - 98704862324025084477027229776 )x^{28} + (-280296871489796401728985444256a^{2} + 617598525138502827301274449280a + 271126692557337149168985637120 )x^{27} + (118205832975005911676701997504a^{2} - 457311069625334913841115060584a - 113050050950369430882459353112 )x^{26} + (-79841733842708461011132999704a^{2} + 629994469586544720894695034904a - 580754135810364394963158985056 )x^{25} + (-13366932470394890524277528952a^{2} - 188727632800789454452259613584a - 630467239142054917364737682552 )x^{24} + (-344601541272587210881294932160a^{2} + 623510326728506110454437607232a + 170389462980349248358716984384 )x^{23} + (2245112037976508917887628432a^{2} - 456474464710217445585789725096a - 126210392173622571285506280848 )x^{22} + (-476382448162083967948942572528a^{2} - 192033882190736680314376408288a + 613704857924465042853994808432 )x^{21} + (-72120894427771458518234353008a^{2} + 346317866667315047286714091752a + 424186418728394745072452162944 )x^{20} + (629792798250025043558287275104a^{2} - 409554581249458625164632266864a + 401366331727850806627205807376 )x^{19} + (369783834058099742246363112728a^{2} - 109564244086635770767618871632a + 39499629869523100720138741912 )x^{18} + (-219309279312817047816021012688a^{2} - 100357968456288792711512777920a + 176752182799777521806670361280 )x^{17} + (-539143318163951765976137063232a^{2} + 174194211719621447765918267760a + 610229038234902405669788776076 )x^{16} + (4050981154403820618543228256a^{2} - 49298481478459066263251222624a - 605502426066914649781279314976 )x^{15} + (345245307790304940161811631168a^{2} + 249676651669095386185090461616a - 528055465823519545355767706944 )x^{14} + (-456560899438075836754962863808a^{2} - 27516074948368365104041134448a + 567724264840719740208192145936 )x^{13} + (-451074495916828517027847419336a^{2} - 342384157621049871439818784832a + 54519317277655078438033212640 )x^{12} + (-592135866513088539082135989120a^{2} + 298211563723224868801337562240a + 609030750423945809125064584512 )x^{11} + (-298708155966478958472330432424a^{2} + 494336693798580907615758299296a - 388969755529713244499328117840 )x^{10} + (-154440092851931587828276596336a^{2} - 618240969454588390285702273168a + 552947690385893503452713060304 )x^{9} + (-188382941133942323173755529592a^{2} - 389401206542298314236450111188a - 414707814525680487068665774784 )x^{8} + (65209416909404225814325673152a^{2} + 112783255027994265548670700224a + 328292652151711221077449278016 )x^{7} + (436988971488338631091511684544a^{2} + 86653025361939927001707280016a + 287834438318574035769847796832 )x^{6} + (616769714046674642959882195552a^{2} + 493685951837019280040270200768a - 458281029098876483356947977824 )x^{5} + (-576693854728912889984020345264a^{2} - 384257857548138769070382158344a + 616728129655041328250212828864 )x^{4} + (229011406023358133459314305152a^{2} - 408084114397397297533791433440a - 510495697661809187115817886624 )x^{3} + (-391499905300328164393949457088a^{2} + 574529159568152028294181344112a + 464776195742213797567457913440 )x^{2} + (443637981101299052037717670880a^{2} + 157614276215697752154560130224a + 464704705526847913500874333568 )x + 158277717385372675465863790000a^{2} + 185830576000856330898097359884a + 614190402945410444992913292728 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary