← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (-459983926541236935397985473852a^{2} - 33889474314052145361358737988a - 573434689373504266664961118600 )x^{46} + (-151194821193953218908413050376a^{2} + 536870670031200986026990007232a - 114642279394940033262576523776 )x^{45} + (498242957592548262569083550072a^{2} - 130094617003375838607528635372a - 537673507029574140145939626968 )x^{44} + (93822019896668925698121606136a^{2} + 414306758700209842737291861488a + 600102507932123385140898180600 )x^{43} + (-82758107893808515558546480764a^{2} + 335777298484373146087630281068a - 114595998658123468089656203896 )x^{42} + (203284300013837671165632867544a^{2} - 339554145248352136556979959992a - 435395747710136715866566370080 )x^{41} + (495355014461630386650342567300a^{2} - 56004010751799077744057111544a - 217305755251149517611075232016 )x^{40} + (460333877084904105755522567120a^{2} + 184714248155787247955149637024a + 142347430151972697666595248816 )x^{39} + (146314765599721247843885075188a^{2} + 255609731643173798327709467188a + 243536476687570168076777212260 )x^{38} + (168750259477486689480909668936a^{2} - 263614304918991385050481143344a - 622349544212173955777174698312 )x^{37} + (-554409206925755683533972574420a^{2} - 607131359713798366848303058476a - 365924214687338274780484787560 )x^{36} + (528196899548529506191088068352a^{2} + 154360324625839996986199253696a - 281204528292515977225739406480 )x^{35} + (10148128379935383917297823164a^{2} - 521664439329549632181737031188a - 188443962791884838618182193372 )x^{34} + (371886668181562201057047522048a^{2} - 593229830613380745724280394696a + 91290659424342563983316432840 )x^{33} + (-439505120623101820643732121414a^{2} + 6150369174436797164021404238a + 308834827972936858234320530820 )x^{32} + (-291004368120212608977531461600a^{2} - 400389462674220994440834177792a - 84891999109906089935963854912 )x^{31} + (47015678489456115917862164264a^{2} + 235616956427311805780053780448a + 345948304118606431938817470424 )x^{30} + (24854213935145611350748388008a^{2} + 359208695689289942428153393160a + 9073990633964554190935380928 )x^{29} + (-317585440952661906677535380172a^{2} - 506774852359569310316074696108a + 629565928811380559389194436536 )x^{28} + (-227995445711196196946445072672a^{2} + 255114045518466005058366107104a + 385005194548909090714139638016 )x^{27} + (-521818072127154830983092553408a^{2} + 189633661922905670814773070904a + 27282553978484398888323994824 )x^{26} + (537318691159879484731610555512a^{2} - 410743228523760016195124611272a + 379793577797041948933427858736 )x^{25} + (131405796722246490579498818944a^{2} + 455918092072743292297429934984a + 567063451198321218514983852920 )x^{24} + (-313734626432082282797539730656a^{2} - 487988432025382740779098812192a + 259899748523486513287842740000 )x^{23} + (-608140242872498930417346114560a^{2} + 271386697650906659011313819576a - 595708588923672441416284569168 )x^{22} + (243660667730056736186060935952a^{2} - 153972066144424086392312144800a - 334194080938459675736455951184 )x^{21} + (-618626967614283657317859389560a^{2} - 467560311770096146946516292976a + 489043109235378704207102820304 )x^{20} + (-64108836649708756175971543136a^{2} + 101155963387415057197149184304a - 195387453065298979452418958768 )x^{19} + (429315534005980418415830415720a^{2} + 188682833254703448367240398816a - 439265912537157635109042203528 )x^{18} + (546837315174888178099268353104a^{2} - 419199170146705300776996176448a + 551298886116932264684716714816 )x^{17} + (512265766686477259407066384024a^{2} - 631640677349589369911429494424a - 71781344386940446054428746788 )x^{16} + (590010034035161254088928526944a^{2} + 159271602462354296876720542816a + 401998066110373245128283658528 )x^{15} + (-123057549104246460254785306688a^{2} + 433524992344788226190879727792a - 233086093407358604759354980896 )x^{14} + (-413029298439230490972615531872a^{2} - 51771283246488810826368459248a + 183847683277952789348013591696 )x^{13} + (-99073149598248329855346054888a^{2} - 558763744147605318765814667776a + 87454219705774495037425096336 )x^{12} + (-431018204445586133494299771200a^{2} + 105662916393034768976839532512a + 105895712067056823054773595104 )x^{11} + (-87997386983541406193889725656a^{2} + 499688459567199401467017268656a - 200408828283538904820624864176 )x^{10} + (92667562065131907987489250320a^{2} - 598970611018880619027799733840a - 573479224568161257488296296624 )x^{9} + (-30530503696990910461758074648a^{2} + 92766316364878648784289186364a - 405899779599707012632272500528 )x^{8} + (-17827802554792340231918792448a^{2} + 412062055586083342093599839488a + 131325418141652322202032541952 )x^{7} + (487332394711776594486383005472a^{2} + 104561991179201018318888377584a + 298780054269142801414536392960 )x^{6} + (126972134842601219895588557344a^{2} - 183424024563861119463904389856a + 128786305333972493712293734784 )x^{5} + (-390300701185154885106255139520a^{2} + 393184807082520382106421610248a - 212343332418710808471914402960 )x^{4} + (-473321614902187807081855345792a^{2} - 564478221283408145876572996064a + 185046368264161070614361390048 )x^{3} + (341122952331881228854092104112a^{2} + 4664751456248300232249031552a + 408448603162446562879227240816 )x^{2} + (-458638824949543047455707867680a^{2} - 529427349852436616607700263632a - 107439229246952330517444154240 )x + 177730732219299925245871274032a^{2} - 252209313127397270580676458292a + 295543790106065108693966731768 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary