← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (63763001434656365501009702388a^{2} + 391973047851071595457797956460a - 120971693386652113171788420128 )x^{46} + (38290508839627046748202682360a^{2} + 560285136567672646588810059232a + 291615795558831144733614276576 )x^{45} + (128348519072914409936669964480a^{2} + 433240588372865128847446837172a + 60150429033666802657058080096 )x^{44} + (439399080507324739149428029080a^{2} - 478700398620244859180373869424a - 47210120176585362241501002744 )x^{43} + (-187126594070674575094970431908a^{2} + 245852534715690689482382541180a - 143078497032780858214451719056 )x^{42} + (523482107260051272000559040432a^{2} + 564727100628985285089285094168a - 511422907481932600952365876264 )x^{41} + (414260425716120951536886052076a^{2} + 474543276799875141425057986672a + 325196068042489328856750768664 )x^{40} + (-372381346549079037142989640848a^{2} + 428803324743687244246617004608a + 360187063049821654262452981680 )x^{39} + (-256245178602587218099312746780a^{2} + 227071981757223174435335202292a - 199376289762626249749253658428 )x^{38} + (-483007133868323125602364682216a^{2} - 352957506508819337198951967616a + 331419177128446511421543631160 )x^{37} + (111599214675487334650133887180a^{2} - 278808019117969819154725033060a + 259252742770524332974466004184 )x^{36} + (-72683413556953190919115262848a^{2} - 319083001263842998352633756704a - 317686347616806203181324875920 )x^{35} + (285962885694205712914686081316a^{2} + 71226837062205535962619309508a - 370395849539419508167356426076 )x^{34} + (347043157514404325142888088944a^{2} - 184186550463554456648092440264a - 414211354451022906500863232120 )x^{33} + (12035614326658508063547404838a^{2} - 321780608913050947339192576998a - 478398249396234863726400002344 )x^{32} + (-278546031903791977389858309536a^{2} - 36961096507746634736566255488a - 169614450066741182902833448512 )x^{31} + (-324914399191593585878456999224a^{2} + 228804993341063193887235170864a - 632033159427355849161794638760 )x^{30} + (407439314501909481853203808168a^{2} + 45610491251694422556107115720a - 77629083683061804717726975680 )x^{29} + (303395511759687981582123358604a^{2} - 360760010363306969970895779252a + 572509788944555559684782499264 )x^{28} + (-591922394735625320335067365376a^{2} - 452066630423256206649946485568a - 219759352649614789343467696192 )x^{27} + (-206871154475223960134496741072a^{2} + 519704276424471039918996787864a - 397957937461758437319735288904 )x^{26} + (-295115253595160796823239917144a^{2} + 581499513938428589206822908792a + 246651744556252074858327780944 )x^{25} + (-294656751470619121988888420920a^{2} + 289684698229277531636087657728a + 320135030583905247195615705176 )x^{24} + (-332379836480651260881991630144a^{2} - 598283145834349167741735333888a + 186868279419744869437916160352 )x^{23} + (420921078334405312177055217296a^{2} + 255450692079769266393226248600a + 298303764101021182255765577040 )x^{22} + (269162319983199696934004302160a^{2} - 422885204411784610197922818560a + 398968506914679230418644712624 )x^{21} + (-465468617677823560329071184952a^{2} - 405281710475640474036196632560a + 550098123922568631612042006848 )x^{20} + (-434066378290957585353919554720a^{2} - 51813641473099626669345680080a - 449733285788848026446347574512 )x^{19} + (4445646296166283577528719272a^{2} - 371455865189353638505268914256a + 29205461329457229058276844040 )x^{18} + (-90771900381766977617300672112a^{2} - 395137587937632257524314886272a + 353171841987246622223078887168 )x^{17} + (142185244174553081904675569704a^{2} + 499974512200918265146866955128a + 212570070880753846467833892220 )x^{16} + (-234195266269258452286216368032a^{2} + 433192803602723969227743176736a + 366165647783649939226278494880 )x^{15} + (-275899148514255240025736906944a^{2} - 510497291579871838069248653104a + 186335907972590430124910456800 )x^{14} + (60691955870006821625907276288a^{2} - 443269404257642242049319787664a + 598997414003288607933537339760 )x^{13} + (268959897444180979893829814008a^{2} - 56895422495666401159473464096a - 356187862725084027885700214960 )x^{12} + (-445747495660005461075212430784a^{2} + 225183996843213141775923840416a + 78074871984066000631535831648 )x^{11} + (271758517869093645399799100808a^{2} - 89450227208919974014855990448a + 417352317115042775892928201056 )x^{10} + (-89172541384763119267987925136a^{2} + 536365533516770818289198093232a + 425644941799699310292878331056 )x^{9} + (269327940972459703493332403256a^{2} - 168157501505689406680513083380a - 178333033499455602315582860752 )x^{8} + (-16952378903181808051111963904a^{2} + 543257301570290706468338192320a - 602044062487915256673170767232 )x^{7} + (5606667345125767375600969440a^{2} - 579636113466698583324147685072a - 178918345662376111092505755840 )x^{6} + (-615376941052610307966556565248a^{2} - 104896946307196728467806104416a - 471907182679685109294643150464 )x^{5} + (468342980231274800017810114848a^{2} - 547241847601591113968209278136a - 301934858713765064049503623952 )x^{4} + (-630932205330574877961211708544a^{2} + 583811729224021415987526558880a + 153523759927533402433399132896 )x^{3} + (-144708310824881758277758161520a^{2} - 544933196674567908126596212400a - 152582594502553112241333106288 )x^{2} + (622706143289428581890597676576a^{2} - 537880876607288349747878680976a + 559541173893699922617807982816 )x - 158686870831860315034005155424a^{2} + 494558664050805664713616776332a + 286745139146569769017927897512 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary