← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.147066_622796_769718.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((263707441062658284754086448418a^{2} + 22814176235702970182746410591a + 273219852600183214871210449081)\mu_3 - 263707441062658284754086448417a^{2} - 22814176235702970182746410589a - 273219852600183214871210449080)b + ((309270483910552841716237394642a^{2} - 44721983538843240726398833465a + 178249599065825457388338956384)\mu_3 + (18511154933221854943731404116a^{2} - 220137460755190554835460589644a + 280094914208430545847609015171)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + (2\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + -2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((a^{2} + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + a)b + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1))c + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a + 3))b^{2} + 2a\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + 3)b + 2)c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (2a^{2} + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + 2a\cdot \mu_3b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2\mu_3 + 2a^{2})c + (3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b^{2} + 3\mu_3b + (4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215763967447127615604074812344a^{2} + 126918569570113487612267779504a + 466951993379567146082473502088 )x^{47} + (-362127694931642280708406139492a^{2} + 150316529514890414353215698428a - 533095888194775466719835012784 )x^{46} + (-376242260621420606134737388712a^{2} - 18748647419987460384347021504a - 354330515106639073001922624128 )x^{45} + (-450839464000366551187890006136a^{2} + 440032230897822890252685558852a + 240795792578093258472825899184 )x^{44} + (272826945681310696297842447816a^{2} - 375437729165052892943133484048a - 561163328222509613781539029560 )x^{43} + (617518777145756930772357359980a^{2} + 404412286762319939025916632012a + 229792961873904698799019350112 )x^{42} + (-202167492696867612843974779504a^{2} + 22130851217371531413306683520a - 315369970710698407853348770512 )x^{41} + (466848958918543626565502771556a^{2} + 114060147375435184377533546568a + 153492141506046969345792303556 )x^{40} + (159350518602686699301826393680a^{2} + 487265145202667590781481719296a + 215929793810434497161859893392 )x^{39} + (626329818022965371002448836068a^{2} + 278860660784098675726870653092a + 295416673822452009862607106692 )x^{38} + (-33609969431319853357592595256a^{2} - 436659202739772667795887591632a - 511460476414217623135075242056 )x^{37} + (-260425421555659028843265667556a^{2} + 583418478027014350728822715308a - 324480978678851322051218040320 )x^{36} + (-545846078393036989944021175072a^{2} + 39401663933724298808433308032a + 601335418537165866623803597520 )x^{35} + (517713311523375026252045431380a^{2} + 531469452233742283654840560868a - 87937364252287616734804169724 )x^{34} + (-555517568730596719439560204352a^{2} - 133688380324512219326408656504a - 361842649830738527221706378680 )x^{33} + (436772012032107622692181137130a^{2} - 574607818011631175907893956686a - 118791071919624915458637867708 )x^{32} + (327631514865694471001089540544a^{2} - 131572052124531705588095665344a + 359349476091357706040885475808 )x^{31} + (-512310974510413736637606813656a^{2} + 415213311423557949812521893776a + 143246491831821548565775263784 )x^{30} + (-307330111996538166178318878200a^{2} + 486339052281336407301677466504a - 121860833183604823865080749664 )x^{29} + (428932553709879039064093808052a^{2} + 102671291540105438914802937604a + 39874069639156718492277599272 )x^{28} + (-316187044261297962135742908544a^{2} - 457889932138097133242635509408a - 401171626736779762538235667776 )x^{27} + (-315942731447109797739394625232a^{2} - 563961385266065867426127778760a - 490325769177178603931424423848 )x^{26} + (-347988112183035402050340749064a^{2} + 17184377173236865698954641208a - 458657914074008476793332683648 )x^{25} + (248361652007359688898401453920a^{2} + 516981835588692559451800424008a - 559520505583545752391972843816 )x^{24} + (242623776480857860974560830752a^{2} + 66809382000589615093196671200a - 52304376689897541906592023744 )x^{23} + (3923200770906079822681143808a^{2} - 197910969333286388546462879848a - 94530984561782057465153983568 )x^{22} + (178103009485580269071843274512a^{2} + 140491670650216954590714181248a + 392231863274214334996886326768 )x^{21} + (-358298696436503603896900591472a^{2} - 548186364351964759061711693080a - 348649033957631479733404496560 )x^{20} + (387240147450409045815057356512a^{2} + 252443889305058654246291969936a - 8265246802212186350059748912 )x^{19} + (-481151262275589207131732451560a^{2} - 425750840617820899624451196384a + 463414278246098265767661829064 )x^{18} + (-567235849045175010315817639920a^{2} - 540609146477181735324043108544a - 495868081781678732909445992416 )x^{17} + (-304231494654104644849214405232a^{2} - 526807433230077772261700307776a + 297292858639568390353928919468 )x^{16} + (488205841503764679677914165472a^{2} - 451525324154762353298563865888a + 511695926723496599182409400160 )x^{15} + (-427015849861183764265553696832a^{2} - 184642021927029521799718117296a + 601923622583433737930961280768 )x^{14} + (388361039878723872319217229344a^{2} - 382493364703082544032204366800a - 407358412985561331885208250640 )x^{13} + (-477838526876042212524204269064a^{2} - 161313682247489467804903923936a + 534171006047558660781483043712 )x^{12} + (-590678724327868902618083835008a^{2} - 608024031313879621109373157312a - 323074999988476998720769046464 )x^{11} + (-567220835077954477236288212744a^{2} - 376128238065615491545854187424a + 51274942941710548979078503680 )x^{10} + (-35214059048171082022308773840a^{2} - 438000573335956984232327584400a - 108989926636210640736434410128 )x^{9} + (183684122458425077856549432504a^{2} - 66583385041477754019511637092a + 547505030941901640722617936448 )x^{8} + (-163710471428914706089713875264a^{2} + 62586329491928034227368281600a - 131297793859442756479101891008 )x^{7} + (183506685380354017606007940288a^{2} - 488410740499229125816413450544a - 454779507236098427757135186912 )x^{6} + (-511194520671071774709230882560a^{2} + 152429572567760767055283818560a + 228664051736616622343138706400 )x^{5} + (-478579975143841287152850002288a^{2} - 589637688401150685223019317576a + 629617981446741715972403145760 )x^{4} + (-174560826068934313928977362944a^{2} - 628159239441449467524989727968a + 522003511030303589070399833696 )x^{3} + (-283762609631166703838017359392a^{2} - 594303355892218057196924663264a - 2228837890219117664860669024 )x^{2} + (-173881673222289212322936075616a^{2} - 182932558989789649215107017808a - 91118164820578910534797377760 )x + 95357163272841594515914131424a^{2} - 318682259845761054602209523700a - 532229737554004126864465088216 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary