← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (571059963815681774419953359076a^{2} + 143883856453152666158314300932a - 327014061036171331661665961076 )x^{46} + (443843511514373146187429150336a^{2} + 581203836619608086913210731352a + 122958409900059837949836056864 )x^{45} + (-203942528884124939999945249112a^{2} - 256362960373310351211897889860a + 69124619162302082199315079004 )x^{44} + (-182850130546430560654948607424a^{2} - 186890325229177563647042902832a + 487495371671417894750377781504 )x^{43} + (-106330889775925234965139023164a^{2} + 538534926155678184038253523416a - 272406966564854718874737466308 )x^{42} + (-403976431698501279990752354328a^{2} - 153074956825825891136476805824a - 521800308551511687352454641056 )x^{41} + (182192400645597971989888540564a^{2} + 527425137677618843700835793960a + 330220010736390899226727136040 )x^{40} + (537814469336422248680988680288a^{2} - 572580068576926309078941483040a + 323593984849226819697798552800 )x^{39} + (201126969166185479408080310624a^{2} - 141569566657914803951331695416a + 457823708948239125245382150096 )x^{38} + (-391875804032848445057065697992a^{2} - 568717943226883277453913363520a + 471685694562911935024785067784 )x^{37} + (-278684259828244627951961706740a^{2} + 468239490757842553436072658904a - 582699526019941909560655655896 )x^{36} + (-198832670339417088781877317360a^{2} - 77068200797417524827414825152a + 36571775850004071361204455952 )x^{35} + (1772850525716575517162531380a^{2} - 203184725529621917863496166572a + 572322093724623228088542632056 )x^{34} + (547665437253498086354632572824a^{2} + 308288867137289518013239849312a - 98487921010322641278049182048 )x^{33} + (473986234281036772477527130588a^{2} + 530527278638859785746648456450a - 540599012259949090550940305862 )x^{32} + (-54316903275109160364080157696a^{2} + 121046215638259521398216922720a - 412088434526797511448999105568 )x^{31} + (-185751402932405031122616147480a^{2} + 505982069636362275836681355016a + 241445154664501220426737259376 )x^{30} + (88044034761741826120554213064a^{2} + 166186177463256743693116259752a + 372038531577481567986674411816 )x^{29} + (-571274108947465637231876183012a^{2} + 97128435342200041285961653228a + 480924031512966314247620947012 )x^{28} + (503276100930544703783042081488a^{2} - 514200354249305873309539131568a - 302117106816075798076917028432 )x^{27} + (-398680300281408929220791910952a^{2} + 345237402150104321294568153464a + 216516484212704649945324098304 )x^{26} + (-225987654207824784147091068272a^{2} + 101067349141213843001172330016a - 262999920404115461706601851904 )x^{25} + (90652965306919200857758752200a^{2} + 196913543366766849711814535568a - 93825768062837528035930514184 )x^{24} + (-129202724997521478332858898608a^{2} + 205302999579546399611163769824a - 225151392259443379145732412272 )x^{23} + (114335125448084604041200643976a^{2} - 489472795939015124585422765240a - 245762072282784079443874250664 )x^{22} + (-517262967142223968246027949376a^{2} + 607596066080618537813257725184a + 392671279641853442249571929184 )x^{21} + (-515691894735557320449766373464a^{2} - 355420438750788656849551576192a - 106061760697811185733251645016 )x^{20} + (-564209336506087928350600662592a^{2} + 628021398957248603078618691456a - 544258039632180435523962596896 )x^{19} + (433935021378209658545875013176a^{2} + 549655910112931835549433814736a + 329268198667457950473971123904 )x^{18} + (366438442053375733575583339584a^{2} - 80716569489288817276135445696a + 415502499798691092455565172464 )x^{17} + (468756229993702653327289309364a^{2} - 325151396689167975639534469416a - 611591460017419952613841735348 )x^{16} + (-588376326827245733989312236960a^{2} - 579567338971335659579785849376a + 267790185587977013292639350560 )x^{15} + (-533341700210942670091449689288a^{2} - 4023921992089681433599898640a + 210351793694544633071607296752 )x^{14} + (211286869714663205668376122224a^{2} + 341915960730850201233636750976a + 58535766513454409882224618768 )x^{13} + (615134184839644045412086113080a^{2} - 430161001432105450074895801576a - 479462514062835677201919621152 )x^{12} + (-19134306354243136043307479264a^{2} + 85777307633929233957952328896a + 276592735589955630819902389792 )x^{11} + (260278670572607348601591162568a^{2} - 313976104148708665519364934232a - 60090823797884987304456773008 )x^{10} + (-549380561421757610997057770192a^{2} - 586601080214781890249799030528a - 454766579330362512365419438112 )x^{9} + (87122249451101926507032852256a^{2} - 584948684482315325109195917372a + 355817000215935729457944233172 )x^{8} + (-614399277656640709861514682144a^{2} - 72460686991702707545608882432a + 571385488317861809247889182112 )x^{7} + (427520040272032745234798951136a^{2} - 477212616223645177980071307936a - 307177587941737743680509906352 )x^{6} + (-318511523156361798997550138912a^{2} - 353918297595402537113732240992a + 473585387726449961550833308928 )x^{5} + (-251397544752354599146333014904a^{2} + 147719716197363663074962984568a - 336084696302919865226522784440 )x^{4} + (618460326733161468413116192864a^{2} - 173406404230367311243183431648a - 108993413508167660006957347680 )x^{3} + (98168970653989336846207022576a^{2} - 273221014262171987636812396272a + 390252304574122443450935896832 )x^{2} + (-22480311826098134503746099840a^{2} - 234885842297961043675480911648a - 112672988351995332045650424000 )x + 358611138458197964299156753744a^{2} + 125474249181430658058106258304a - 525950543746339108326804702484 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary