← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-317285764887325362851189109628a^{2} - 119136012565967491823917279892a - 174882895975056175136928198372 )x^{46} + (364801033436749750603917534848a^{2} - 407351505710918731188730177032a + 249714712734746546387115198512 )x^{45} + (117098368471038966287346804280a^{2} - 441082930293016531119353250988a - 43106980545269856541109894172 )x^{44} + (-245159542363086126788444811904a^{2} - 189112502678705161478427889312a + 547798749684165645267017859456 )x^{43} + (-136039396019446319583225525588a^{2} - 180796818621734069025813146784a + 314947853890296456434159242660 )x^{42} + (52805068418582546334451256432a^{2} + 155586020601595734536200397792a - 628461747595041630227230319696 )x^{41} + (-494698493031860141368849628988a^{2} + 628978906324222492120261620528a - 298741512620500262180007234028 )x^{40} + (-134031471228618279859485950208a^{2} + 321246189776068885800193747552a - 307135928039496690421793161344 )x^{39} + (52234865127715855290957266976a^{2} - 434007291274575299594924913264a + 482339346808249035883644194680 )x^{38} + (389413432009609138887698461240a^{2} + 251559691156346764056416270128a + 607273299313556904924749697848 )x^{37} + (-195157891007649625115304337372a^{2} - 582392998590193414389113402416a - 491405638345560851693763900272 )x^{36} + (402628114059865151117793222576a^{2} - 95329782069221377658908371920a - 590960015279811004993251109680 )x^{35} + (-600895966247528711038685232364a^{2} + 164125003408099699726484749484a - 345194243211888666758971743920 )x^{34} + (139080190782914737670277160248a^{2} + 628309887773086341690663387488a - 431999283327682392851657314816 )x^{33} + (529551423419324861654945188304a^{2} - 547475498949611830437710435618a + 425141130898586339133447260594 )x^{32} + (180512348202169880102980241536a^{2} - 479448900989136465947843373792a + 171824535986143026783925298528 )x^{31} + (-440583568818768713803520390904a^{2} + 539780630054680911013630872520a + 535400162179616057085536535008 )x^{30} + (530306906803320424781796734280a^{2} + 622868277568292716518323243496a - 168227789031367280386400719320 )x^{29} + (-597617303342353712343600339332a^{2} + 357689566461187008260996050764a + 181135300588247317714521672156 )x^{28} + (100607082861416328399329016208a^{2} + 242694611797656412589054772080a - 61438233704530368383779207760 )x^{27} + (87747110788306969687904483952a^{2} - 158524569220808236316338121096a + 132930100664458045794831536744 )x^{26} + (-468016284925870451308771922384a^{2} + 570293322801748415432498693712a - 388326257484670633934255887024 )x^{25} + (504535443052464817480322191072a^{2} - 518891275804291712322350847496a + 234933802314416064051660692104 )x^{24} + (-506614198313014081505485804336a^{2} + 256792644396248919143804670688a + 202155561808901905071500684112 )x^{23} + (493708603240280529079258072504a^{2} - 397315952547202003493474323256a + 271520058610106864106857940456 )x^{22} + (-119455643118665673402940923104a^{2} - 179351802578653699990316801568a - 349904910470961780336590768416 )x^{21} + (615087492946896542647003166944a^{2} - 148325485960292459632769927592a - 140369703972489335494317631488 )x^{20} + (91316786680628295894271594944a^{2} - 447895452994321990649670003328a + 291053027483406080572884149184 )x^{19} + (514660805598402049042799192376a^{2} - 493120473946401723233032864288a - 566639019764059687872631389920 )x^{18} + (-587904106783771145008260061376a^{2} - 30873381261022252418477674432a - 142686061055177505313814608656 )x^{17} + (-88606950250169629591089547068a^{2} - 568663962432350070130188560312a + 455777119820412356997166482628 )x^{16} + (522818158610476097396207252384a^{2} + 232455049341866247677485326944a - 279561701405376026699146095712 )x^{15} + (81404870721842454737714902808a^{2} + 512048995284579543802561326960a - 571235980636934063589712462864 )x^{14} + (-112163366419547295185243431184a^{2} + 387179899339908527350594819584a - 486563866062883664707970488496 )x^{13} + (175919193341094236102442753192a^{2} - 217378989459102581386517996824a - 532042173960278385152413216432 )x^{12} + (-317049067427728767608785181728a^{2} + 163293090097429674766341796352a - 619441360960043027207750898912 )x^{11} + (-283345644193419009235211661512a^{2} - 169501435067095450209461958616a + 89414517759266146384529307920 )x^{10} + (-127314662421139027324596664688a^{2} - 602086222914575852532337197120a + 230475409766915136594070287840 )x^{9} + (-305936035949495160992808226816a^{2} - 212112026559926692986269980316a - 624507173283323121546263790508 )x^{8} + (212890822707063631786435804512a^{2} + 75005745469591140496342826624a + 87392853011242849731948992288 )x^{7} + (-232620852613910420344865876320a^{2} + 63958719986582541407920958464a - 438113102824034936125112539920 )x^{6} + (-199608343952475797817547555776a^{2} + 586663243835096977760105085536a - 478429509389057135407276907936 )x^{5} + (-240376023026636864889397289672a^{2} + 549518258346209123699215597528a + 495230877486810785671414175880 )x^{4} + (178884317816842718263122539232a^{2} - 217321942067581851189268028384a + 391690098913051191606724740256 )x^{3} + (261083177691977429543928230480a^{2} - 488058330044385080914070633264a - 98859192371699280314287489536 )x^{2} + (137047279816525033736786627008a^{2} - 3189441939032517587844772032a + 196335580158402236172357267616 )x + 571578431643096381983332504144a^{2} - 451688808974567403724441470000a + 56623238403434872330000603644 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary