← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-235099719977070599481990688668a^{2} + 453281409204586449170371316476a - 368252855920184266387120025180 )x^{46} + (509849966751450460869833167824a^{2} - 425232513268941516365213701416a + 348185589144759234958624410816 )x^{45} + (-363683107162756442801435637728a^{2} + 562674065047119792231686510572a - 287670380654394587472284974044 )x^{44} + (93730756024848932052859017504a^{2} + 43469166958038755785836049568a - 562193857932767881105254105424 )x^{43} + (527562713970599215562501374708a^{2} - 196561710229233936794363903112a + 320999874155671416013485689260 )x^{42} + (-502418116570975418515005353920a^{2} - 370445790091958826366398092128a - 430829991945400124942952275448 )x^{41} + (276063614378595202863845632688a^{2} + 376689131764104610581366636532a + 348302963751579482430413994452 )x^{40} + (-518932873316465935229005348640a^{2} - 111469863227934376415126979296a - 136102627548490420859773609792 )x^{39} + (628472726239194803477405239928a^{2} + 426853609946276438196741591920a - 228885230702043402460969861952 )x^{38} + (333483550470987347403309043016a^{2} + 503194072574799884062466146048a + 116044708134967121121450292104 )x^{37} + (-85884758783067312633381520452a^{2} - 498728671642769996926664305080a - 626187065245407756263386982888 )x^{36} + (-344304388937593607237288219680a^{2} - 117531686270744392870971726560a - 376963888359089526059522658496 )x^{35} + (322433769978812750096911142884a^{2} - 242863964323707919082016306540a + 469155374877297448829199576552 )x^{34} + (-508873280146483386915502012264a^{2} + 567787109373184102955563653376a + 196804159808505678278452660128 )x^{33} + (-525035745544471623359423864200a^{2} - 88578743640995687112728805474a + 461440627871188004393044164158 )x^{32} + (45042692358890391069010633920a^{2} + 18260963534519515773539351968a + 278254023421407913216992344992 )x^{31} + (-205723485468547601071752529720a^{2} - 345844595511180587194525476504a + 281623394113362450225624644128 )x^{30} + (-601217884234394875514707779288a^{2} - 98328179168067134213181942200a + 258722306512418319178310425032 )x^{29} + (-34387693381809038276712896908a^{2} - 170633652708502435796813636148a - 381716398924034817157452261452 )x^{28} + (-248182997255707043799149719472a^{2} + 306945538439413425917841583952a + 236302387507441077455517471920 )x^{27} + (-515441472094800272451326969944a^{2} + 399898242727531121207124364736a + 47912203897872559350801618088 )x^{26} + (520937851367672047647449762448a^{2} - 14178710826820306372640003392a - 459552588600433584634671953680 )x^{25} + (500185646436388826158445158080a^{2} + 146151801235328515281478517736a - 231220906248556598397837234600 )x^{24} + (-354880998570011397121257558576a^{2} + 322114145429281268055253322080a + 336642763670909571597940470800 )x^{23} + (616192245414727580794667208696a^{2} + 626421198283697485919027398952a - 365292064430875067339285889336 )x^{22} + (-513994078052463251088535809696a^{2} - 75259852679410554418820028544a - 347455962273694521480845718080 )x^{21} + (-339665263672284433762691372808a^{2} - 192646396135544240149189877112a + 206506604723521090641387702704 )x^{20} + (-139310052470354478795855061824a^{2} - 369701357043624709654818716576a + 354769499827575236116281419168 )x^{19} + (-220726582696357829190852996472a^{2} + 457508309277775397584754108448a + 242470574911063847312609790736 )x^{18} + (11026319462852257570509450016a^{2} - 442144629338522375704031791328a + 589652378120735383101419666576 )x^{17} + (78868687792292812819652838860a^{2} - 436524288948189179444865601312a - 460646194981763077397286921308 )x^{16} + (212760690932376562114022698976a^{2} - 339944876707422469622700756448a + 595781596596921686919300020512 )x^{15} + (362870079383450724331355514104a^{2} - 20789715685937205610227826928a - 549414801518473541432603157232 )x^{14} + (48778971882827925353976424720a^{2} - 412170646677164564224943533184a + 220334039587569436383409414960 )x^{13} + (-542718982024689174893572661480a^{2} - 82820687741985164717386713464a - 397467494513760784826259673168 )x^{12} + (-207547076930619948482568945504a^{2} - 349110969541317928778087010240a + 84362701986635028824568266528 )x^{11} + (608925126522773405168272867960a^{2} - 249536504451316752722519279448a + 446947954020954841266403469632 )x^{10} + (620896173687685615775493461296a^{2} + 280946706221102239858177969760a - 445146854240737421886798833312 )x^{9} + (-409650234706842317693961473568a^{2} - 126498340176808042543698704108a + 320757927459164710378958538564 )x^{8} + (-38858747804809325877584835360a^{2} + 513033627400622138417406834304a + 582671099384634586576997268384 )x^{7} + (-531372483696154522508678694816a^{2} - 378031481867169976478071499360a + 549637114792067186073132711184 )x^{6} + (-465772789027445446709956093024a^{2} + 14686762306319020056627259552a - 441973317320386667437026908448 )x^{5} + (190816149804489507075398934136a^{2} + 238682646735935177993745614776a + 533388003540821362741853212728 )x^{4} + (311632014877621657827054243296a^{2} - 376755985664431610772246131360a + 624172589813380413884001314400 )x^{3} + (-160507652305268612362256082096a^{2} + 175354840919922699250475164304a + 253454659980264086788089926048 )x^{2} + (488007719609226301828252827264a^{2} + 580041411996364518388003793504a + 94725632745433170108269223584 )x + 369951589081654351345487551168a^{2} + 111990062616301402193759919152a - 524319501149266231394709673556 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary