← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-268603847102130961272627504204a^{2} - 337462273477641679998492283644a + 92416249325843169272880010052 )x^{46} + (238701341698785031427283914800a^{2} + 453965817721516429832193385496a + 467040693410412600005192330416 )x^{45} + (-170738709395568096343865320944a^{2} - 119491325367934341411431063900a - 513553637091327735242335309764 )x^{44} + (-353484637328783617847047700096a^{2} + 17531695075317971130103654768a + 199331049994391673642528858960 )x^{43} + (110125420933395913878605209676a^{2} + 136779372806656298656942607136a + 486849051549611099396524950372 )x^{42} + (311727609336510166001880327128a^{2} + 106323858096408493978088263856a + 255651522193185086961247615576 )x^{41} + (576508828449053085015441531464a^{2} - 393543524364108266144624490556a + 268576174845463602173336294360 )x^{40} + (-564732030586453129327865962240a^{2} + 218569016217916230590681935712a + 633143342390254386331542362592 )x^{39} + (319693931074494182377439985592a^{2} + 197589340221579428505556206296a - 618779356162004236619864942120 )x^{38} + (395460062485327032510390083304a^{2} + 372319217753539941541802862800a + 551129191049587942810194386360 )x^{37} + (531561808092207139172056072500a^{2} + 99302118614370682913217454592a + 197162637498314565676021781728 )x^{36} + (352769683381277541779099211264a^{2} - 616589994010178302803181250608a + 390831077279496420693836412864 )x^{35} + (-184639804093791742745304698540a^{2} + 195551480016918900520261193340a + 67422732160862522781582435056 )x^{34} + (435805430817974454062611339352a^{2} + 274834259240940506342686876960a + 343133181717124179647210752256 )x^{33} + (-337978128640258791448917835804a^{2} - 256818837562634980606988779630a - 309785122663508987266073436202 )x^{32} + (-424472664885531097731676012736a^{2} - 41767736885462170674807955616a + 291723314214698924750996980320 )x^{31} + (-522584398787035298085772079064a^{2} - 394332138419193868265544041912a + 226386936439853475974562568016 )x^{30} + (517558656348391409150195415464a^{2} - 489803658231251588959282039480a - 475798264698423380124524944184 )x^{29} + (-218180809883996677529875887516a^{2} - 560197170055940090437782165764a - 381901202343221207047212536836 )x^{28} + (-593502911751705643455342804976a^{2} + 453786700168540839787887210288a - 486281287097355978176478292560 )x^{27} + (-544053336160475478997007948160a^{2} + 411899586291129167075645233296a - 462713653874069242650119985552 )x^{26} + (346750017639891908245916716560a^{2} - 422087972747839367451271214032a - 435745267927233569480225582400 )x^{25} + (304784343158013622367215087656a^{2} - 281825318352420925139080428336a - 191713629139542544310680952360 )x^{24} + (451557405702924369480535722192a^{2} + 93447805754567633014216424800a + 475144964456613745532986664528 )x^{23} + (510585806166658413268261061800a^{2} - 378642390974592108974756940184a - 573693497414525178037602052904 )x^{22} + (-187397539176137344933053161984a^{2} - 414488480689691061144651729760a - 24165896205428520379394421056 )x^{21} + (508223266853473501397964058864a^{2} - 424265042206039159459947981760a - 193789303350626088336991325880 )x^{20} + (481856253592521479535723557760a^{2} - 5209139004861544355702595680a - 168100966535836837039553875776 )x^{19} + (-492714427103118517023328992824a^{2} - 53812997864224696187079808176a + 232480799463892386242477512496 )x^{18} + (309936805383982216326259150016a^{2} + 264417221225101865269328459008a - 147718734828603785914941128144 )x^{17} + (-307952415228426997134012398644a^{2} + 169493509794827083774303907360a - 194808837356714309971544413348 )x^{16} + (617831485451968071014979885856a^{2} - 411092591803040615533614220768a + 255730652132521016429048273056 )x^{15} + (8133688558141728744140740696a^{2} - 107228975523577014428390430064a + 153562143161712029689897055184 )x^{14} + (-413053201025993350553775605936a^{2} + 504974095233708852081720118016a + 398224241442654222972541780848 )x^{13} + (-307418227322801164124367728856a^{2} - 329093761521606914839041010600a - 538782305288108963089742430080 )x^{12} + (-377733049337493752624991372320a^{2} - 56568435591239053104239158272a - 341162968537847000986752135776 )x^{11} + (3323777477970315832749910024a^{2} + 194850674099855229502890272872a - 25802454857620394261848129376 )x^{10} + (228888873678784378728629218128a^{2} + 631458988890416951259572197792a + 593090965866793653875449600416 )x^{9} + (-273684956521398084524528253408a^{2} + 398075703322887557672064670932a - 410681752245402971493114534172 )x^{8} + (-17085336191903428619222290976a^{2} + 309176612641085434192186216960a + 20336925938246826366928235424 )x^{7} + (345266450144697690475231405344a^{2} - 545076204084554158831839034880a + 264949995036823267160676061488 )x^{6} + (286160880328880276804836350208a^{2} + 252257365643808372151485350176a + 607564890849698651184921368960 )x^{5} + (276114987300170468918105880264a^{2} + 334724168084859664481949933272a + 550151926422979175556672711448 )x^{4} + (-394760159570371329868087119008a^{2} + 633487651888049007208288616928a - 6421750645653880650600810656 )x^{3} + (224100696813730594059235163664a^{2} + 376206816389616015958497720720a + 306944018848808844883764953632 )x^{2} + (485155864009875854917397603840a^{2} - 118848551841488502650470119232a - 621926441471634636191260964992 )x + 458751426607370615751755412384a^{2} - 376736152878377833026612930240a - 607401913268061818681784726276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary