← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (236473419768623534433205526136a^{2} - 490348225472094930375298225288a + 43105730595145318318658630840 )x^{46} + (77976048369251369401633813616a^{2} + 128787128444764120490527213568a - 397476100830060748298818101408 )x^{45} + (-47940310257744358522771818648a^{2} + 87022114797149542043297740052a - 582352117532126363786813640308 )x^{44} + (-414919428249795621823651705008a^{2} + 108578055718753058663882217376a + 604457504598426254054283465448 )x^{43} + (548628482180424732260678055472a^{2} - 202782789234700505240385470480a - 476690644416400016743832977892 )x^{42} + (23848053602497072593781769544a^{2} + 90644563407967120613371252512a - 455372850923173321831540845496 )x^{41} + (-339064067723580927244977652696a^{2} + 95727826262701215148878475112a - 302514763905173632391363940856 )x^{40} + (-550737169599654994317249096400a^{2} + 284130389562472766347887015376a - 212177062629671182658640967872 )x^{39} + (456937122294804972480468481248a^{2} - 412386140843579334460106830520a + 479311815163295870099313445780 )x^{38} + (536744968207614714563987995968a^{2} - 220941078867919011737826207368a - 167152790663257138288414575800 )x^{37} + (324341158551143987083675865056a^{2} + 339590423604873257383327605592a - 604548108688478595771688191744 )x^{36} + (-543673383345008570885347066368a^{2} + 318729631593465265794003163216a + 140816347086590316461932832 )x^{35} + (493098769767723371840955350100a^{2} + 296027198903440138896164756564a - 141916859041351067349940951464 )x^{34} + (305033911817246641342694219640a^{2} + 131920309110258180437497372936a - 589921029643716134686337906752 )x^{33} + (529427751938484681533507660638a^{2} + 481737252717725550978694168198a + 591262095274250052856468873540 )x^{32} + (573778687571976045488449947552a^{2} - 200463236340129142817696469408a - 286523172080821139459108012928 )x^{31} + (-603806483313816118479039872664a^{2} - 439526234085355874418071142696a + 336562467999647389343317507456 )x^{30} + (388520716525399899779101689976a^{2} - 263861653842038994277748256664a + 152506312513701459875406678016 )x^{29} + (-232830202530009646752813557984a^{2} + 8097831970121090496456187012a - 462442007274716959761023909192 )x^{28} + (-512790665260423824701790674544a^{2} + 338785081379978495723015254416a - 165687859611484294141075378816 )x^{27} + (434605565892237573939834676984a^{2} + 136879815316345993882732858000a + 555333843147505609804663026696 )x^{26} + (-461580147568785914822527503120a^{2} - 149818929760073920321001391384a - 75981580207573339942061088928 )x^{25} + (69268483762727591481116479820a^{2} + 588527696396117466999227530504a - 135589563158218897137700999044 )x^{24} + (-152690289879578647795266576768a^{2} + 274770477138452395640669405888a + 252927820256358936293631551616 )x^{23} + (545730635472632886745417879056a^{2} - 154408980595417789196765788944a + 338536571469891247513554561968 )x^{22} + (537591118393479131536466853920a^{2} - 604089460323128950054188732464a + 88556656803937632750363769072 )x^{21} + (-24499120732833174503910315336a^{2} + 357936575640794028477082876504a + 277270546777027751102604877872 )x^{20} + (-363725277624120448565916231664a^{2} + 334751432618474285249298773680a + 533303516029044552774125657200 )x^{19} + (-36376557278217972023321073608a^{2} - 339288664881444762468145428080a + 490522910015796499066558920712 )x^{18} + (214766533078453238981505459088a^{2} - 267622422935328780159337330112a - 457732160504616610732501018416 )x^{17} + (-543958004942608517902344018584a^{2} - 66911640326660335052263548676a - 556422055536988715799924075000 )x^{16} + (38677361579526327673267902016a^{2} + 144183958075661531347939848864a - 93559823815273690830326011616 )x^{15} + (540014047093957547106328856528a^{2} + 43703807856578340898277330560a - 128898999857887161360688411696 )x^{14} + (-57268785168761837168950014720a^{2} + 17166351247840506917050676624a - 381517603735149703786642984576 )x^{13} + (-343088591416952106789562019560a^{2} + 236967886221200066675101669656a + 591666000656624719425592880104 )x^{12} + (510640334704748093837192700960a^{2} - 122299243751295128454065809024a + 53995711996783846055531364320 )x^{11} + (-276044793141714016779436323336a^{2} - 581347229530094971823540709184a - 431784076645323138874825789280 )x^{10} + (-85346390729687999292981409600a^{2} + 10025101878961232449101444336a + 603792475237245783347667254384 )x^{9} + (238404166148416317249609743988a^{2} - 2612452405640033439395401192a - 603532111594989880105298993768 )x^{8} + (-17721761009718230774037302720a^{2} + 460441289821971093974281582976a + 156891370991488929540466327040 )x^{7} + (270743916048117415428545638624a^{2} + 169429419493133371557240255712a + 486950317936415586510455409568 )x^{6} + (-351141080240128391878002805344a^{2} - 383462032259808071532927825120a + 391012213240268578160726726592 )x^{5} + (462054148293810590932164400936a^{2} - 585783747339191379225547096192a + 283950500433692472557834746920 )x^{4} + (-77594455139888653395308071424a^{2} + 247198181732283988207090182144a + 4798159743281546998170475584 )x^{3} + (-499184993295645960923723889440a^{2} - 146446690561796157612041980608a + 517169552912155109549522943648 )x^{2} + (624766839760236777098363661328a^{2} - 432910660711741367624414150848a + 236169491415234916154077222544 )x - 551764538059023286103034254016a^{2} + 32382262740722303788593267308a + 37879303661513636628004557044 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary