← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (-528775654890804920484811277744a^{2} + 440552787583050533994336617032a + 376304881111849347027195279192 )x^{46} + (-39725835352554422396088649632a^{2} + 235852002865231800188586934800a + 505226773647512856277485290720 )x^{45} + (521400759708591454192207618344a^{2} - 277590010585855908956909916812a - 293368587159539075051339774052 )x^{44} + (-287332271027535015278535749888a^{2} + 551638559821178114349097255808a - 547355132076762443180032255928 )x^{43} + (-122705757985602283178378495528a^{2} + 125864968638221825369026421944a - 384197135681917148281367688236 )x^{42} + (-413953416193641326971336743200a^{2} - 259589105013252602093317607408a + 627662167340644246735564526600 )x^{41} + (-560608727949041984749646959620a^{2} + 622518316760871313120038683116a + 216353369849573965985952337736 )x^{40} + (399098104701864837668823252624a^{2} + 468414743432667542082307106544a + 90086182856117165629841979488 )x^{39} + (571643841128661857917555432032a^{2} + 431584053067413627594761982168a + 561457328806626722604671321124 )x^{38} + (-483761375934911254353118711840a^{2} + 370120705821299207727323896728a + 213959793745620878527471482248 )x^{37} + (-484378270758160225082375244664a^{2} + 459256002975564368491754004784a - 284591095394651932157848630480 )x^{36} + (-587210623972855868533639582560a^{2} + 250656079516858049688382579792a + 243905814316528266317780081664 )x^{35} + (54590605768307096498425720220a^{2} - 90444202932365654565677196324a + 591637697476230573597467749872 )x^{34} + (-619847523182317540553585013896a^{2} + 600426593944550773967975992472a + 24529063001343301602463921040 )x^{33} + (-197272144863347979284326749950a^{2} + 165087989187406645786100789194a - 333209607721469446645977518984 )x^{32} + (280901081801338749970656646976a^{2} + 275511161875926425181638595456a - 459057228402366666637551871296 )x^{31} + (582655217289089985259600110008a^{2} + 95213115744181369326175382168a + 352325440864126649282122638016 )x^{30} + (-466411805553291562871795663848a^{2} + 368649653666309730666963684840a + 92216312678153802880116532544 )x^{29} + (-558408726078883421573250631848a^{2} - 549779946618589782115465876892a + 535321747781732554884744263968 )x^{28} + (-157968013858602608676850599632a^{2} + 47246505002993798574211325328a + 336670749290403771561855305376 )x^{27} + (319244925469335512091858371800a^{2} - 87970611975578588511670319792a + 108528622308754880253850952712 )x^{26} + (-162478946264856478324540087472a^{2} + 381509244234613993435550627656a - 479365215162782056111699637952 )x^{25} + (-607348402395765653726528687460a^{2} - 536762736466290101286884364504a + 612517283333724145124436611956 )x^{24} + (49257303774326615375109482528a^{2} - 98615235190557592071713597760a - 584235642830699429125985472832 )x^{23} + (-398141170612433948484682353712a^{2} + 413403685792806999604511397616a + 91169940415338966852641728592 )x^{22} + (54290662501325421709713699648a^{2} - 203649734812836817198330018704a + 289655218789761245602486871600 )x^{21} + (-1571580514414102313588364512a^{2} - 312915648308195770275445977424a + 485097634718898697422295649704 )x^{20} + (-286478422604921304099065241744a^{2} + 429280885273258104077362031408a + 254750021544396840741439582384 )x^{19} + (480157673229210264978061266216a^{2} - 320471340915699183301197063040a + 487792322110971012704345244280 )x^{18} + (-207919495892322507801841157744a^{2} - 438941375466353829892044910496a - 621929768004382347326681263216 )x^{17} + (-365244482322898103186359665328a^{2} - 6958685827179609238499159476a + 611398119487511062673028889832 )x^{16} + (459056400726051012397696231424a^{2} - 128558101425903929740822782624a - 117821161986759181654055847904 )x^{15} + (-303265426801620937852913375184a^{2} - 486249511922318441901558732224a - 442535788994167018040535951024 )x^{14} + (400064238284923426248830676032a^{2} - 481301500536451763719372113808a - 494690845017773814851249042176 )x^{13} + (266183350723617043627615261640a^{2} - 413605063215288919675820646936a + 401039466393155823570239591656 )x^{12} + (33330775581024817761509539904a^{2} + 375525771764731622250613925696a + 343301666857583739264594225568 )x^{11} + (303748701621449899377312902904a^{2} + 267569122738035395043823888160a + 272428617217786864072618024096 )x^{10} + (275516576365554370744572960576a^{2} - 225574010734594713705915528240a + 550972145887814812147475658672 )x^{9} + (461696038779274607809761434772a^{2} - 419259861941270705724261098696a + 85283566300588599872970920504 )x^{8} + (-388161369802325445691636495680a^{2} - 106058476811360802353646354560a - 25198641937719802834227426944 )x^{7} + (-437332236519715277851419241216a^{2} + 337004808952646476011042755104a + 418672010821727879951411052384 )x^{6} + (495493534087176250876812963296a^{2} + 464858517797042727123304393856a - 401121711585904284581303558560 )x^{5} + (-112901708860586088101922503944a^{2} - 467443619477436539878393748848a - 181831461720817291988773985000 )x^{4} + (26490258968007277509858743744a^{2} + 488456263734964551359042993216a + 148613543776873676467813999936 )x^{3} + (306941535413971732289558217088a^{2} + 623262958282780712647036658768a - 510537160867788601406774780672 )x^{2} + (46501597210650393458152356304a^{2} + 473626659934169801992992039680a + 140651870578033986819703457264 )x + 469849362844758244938923822672a^{2} - 339157226212114959854128266708a - 157719453885125085562251695276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary