← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (-467409199604972848444851033056a^{2} - 166991967157045018206977699088a - 132614481167599812335652632616 )x^{46} + (-910681890556599719814045152a^{2} + 162791482017595975066222515136a - 62510958128007770603451954992 )x^{45} + (139864926517179322024986196080a^{2} + 306745920496999540838514078796a - 277080801111652924280658803964 )x^{44} + (299080574772854488443533011968a^{2} + 400336674727921570805404602416a - 438976180748700788724937796728 )x^{43} + (524784246035840231652681596192a^{2} - 412562824287861401687610187880a - 274468384383739388019437612484 )x^{42} + (-97250429575954318231982966128a^{2} - 243980935921939680085816993056a - 311327835497697459903495667712 )x^{41} + (555792413158446564638520418092a^{2} - 273098869156215003715790256776a - 299935675319207126437631424968 )x^{40} + (267974959262989841551740617456a^{2} + 587752091569580261123680597008a + 98092602340335721223745995488 )x^{39} + (506538305367349821406408582848a^{2} - 498082737947362316371936154920a - 407515969010087135516344415660 )x^{38} + (-539328203818725696981763964864a^{2} - 33912236831475764962288246920a - 276139278433930253788415264232 )x^{37} + (58464280409304479770462367232a^{2} + 237718513456955689637861765632a - 311410710105591393284968646272 )x^{36} + (553306414696645691010581942400a^{2} + 64820080323058540451803088720a - 396346714283003674254282261248 )x^{35} + (-574771411271112912321943911028a^{2} - 497709727574501346950199571436a + 451115805953840633458861326304 )x^{34} + (-326756326914087532594971901512a^{2} + 276765332665509184545272830680a - 535884548574416046398896812416 )x^{33} + (434742918390695441961992220282a^{2} - 340220535166622848599288623458a + 479836558344099831489188890656 )x^{32} + (183575441392016898299309628384a^{2} + 46290888504394557969192586464a - 420422137778513724912186248416 )x^{31} + (20242622125735963630962686328a^{2} + 305662320752203554634961523464a - 235828658871081892814995725008 )x^{30} + (173571794748530104011600269144a^{2} - 387538694643945451862318449688a - 125851538250482092837109102688 )x^{29} + (-21832839908858465486669045712a^{2} + 125362843047899454810091646236a - 424753300939767157934057781312 )x^{28} + (-138068561994095229083786798448a^{2} + 354278884060987186235852641712a + 173902500668497206296810180640 )x^{27} + (411010907254750421651729394360a^{2} + 301374140011104206235313532960a - 132539970463306477720111702072 )x^{26} + (-334001125510747329890954842448a^{2} - 237398311820706204050286152088a - 623982066003713114212078215360 )x^{25} + (-123704709826594262174505491620a^{2} - 538483543284201335959409453112a - 626513156506193737923103485900 )x^{24} + (-249347240186657448269274583360a^{2} + 13819911454318023855793831840a + 19299542495459162373965684384 )x^{23} + (-632628381744709362059992172240a^{2} - 221350291245565642853949979712a + 426731353948162307001730907696 )x^{22} + (-25447694558476157634495052736a^{2} - 545505581987121713292449729360a + 418150460766027097178741390320 )x^{21} + (280112743189050863329240422360a^{2} + 471696305259525290711383847472a - 77767420599990593210440946776 )x^{20} + (489002415930154467069955622192a^{2} + 132366215732165184148072992048a - 220353913249286801788326680560 )x^{19} + (336127565088822255992340507672a^{2} - 524797777997233591244664979424a + 326579672657141078448818185864 )x^{18} + (201666419946113501941910059440a^{2} + 313357074415428135521824307776a + 240868256110646574977226264784 )x^{17} + (-328942714586965573777096372568a^{2} + 434796359290014006941991114204a + 49731418457698329866182020512 )x^{16} + (-410245360048315436945181738368a^{2} - 603002529078448807197846589792a + 543861147834763772240365181920 )x^{15} + (88660377138448097220950678384a^{2} - 390693042168115516748114654048a + 325360141993445248323402380592 )x^{14} + (-271628773988961606175132883360a^{2} + 607181610934093869850079622768a + 541443315284149696375300653056 )x^{13} + (-391222838694550692833760309944a^{2} + 520438086810070596729767816696a + 200247904838663956173008366728 )x^{12} + (427860161469852291716687107744a^{2} - 48609740771383496537263369344a + 81859729276112215017965821440 )x^{11} + (525735061464024720699551360952a^{2} - 74808591473723733986875739136a - 315050713855189960937471708352 )x^{10} + (-258153074016027562382935214784a^{2} + 345253988204499537907715972976a - 14403103505472303698596099920 )x^{9} + (73891753711872972109549050612a^{2} - 469095494215110813011020373112a - 413732041592308423769019572136 )x^{8} + (453789082105008751183020110208a^{2} - 280745436836261037409950845760a + 480759379821305748871486525376 )x^{7} + (225821402251436739192944354432a^{2} + 57784986402656832622694100192a + 174086373605205530264907252064 )x^{6} + (-405849443255210447194054798144a^{2} - 239513446722230483269771446336a - 604255278933361137882775858688 )x^{5} + (220536896421487532904305920040a^{2} - 64676108913190606374688039520a - 313524868763804847475347926264 )x^{4} + (206770575670739558797279375808a^{2} - 120642132819881622104155549504a + 413728093368590105024760765440 )x^{3} + (-132993178222817419759148468752a^{2} + 156699484655513760574893862352a + 19626748629340492167367648976 )x^{2} + (519094898014033658062849177104a^{2} - 316400954709291693580710674400a + 207765842432388462151180555856 )x - 360280713275420375792458325824a^{2} + 412308647409366319889488550044a - 357429191869261590084769389868 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary