← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (246733328824106121371670491544a^{2} - 11310617789928526398660289408a - 111888583348716258922657518392 )x^{46} + (402994569207243867568876532976a^{2} - 270419407398759237616945803824a + 141804038734772693144902383888 )x^{45} + (-208312254839904939142542680784a^{2} + 447325340581693231908902362412a - 42962812703599985208935376348 )x^{44} + (-199443015978478702986016093968a^{2} + 435672712593368622656092354192a - 527918620283573079017829944568 )x^{43} + (116281595897856997808339430120a^{2} + 597829494339895764812016723696a - 293060749757932769075090559404 )x^{42} + (-234359991053914655597033744392a^{2} + 213288235962248735786493461056a - 559876744619307495355934433984 )x^{41} + (463608332534172715967263719832a^{2} + 419012568493779982895101855436a - 1596243302060127204287392920 )x^{40} + (-187895112651773535334522318128a^{2} - 186250888164024125501308902352a + 564878969988343458403741979328 )x^{39} + (475805474337340101541429047936a^{2} - 8059240737344407195291398328a - 154305835862830754304611790364 )x^{38} + (-159576004328430879293930941152a^{2} + 79530984161535530429097583864a - 581787708680369878634083192616 )x^{37} + (-281178927523785716044812040888a^{2} - 365512695051508373942476293384a - 50373487013642751137572422080 )x^{36} + (21965420341249975124592601600a^{2} + 396514730727798845085290628912a - 26960176652870200704013740960 )x^{35} + (538706968874032733324163462676a^{2} - 371685208626274248199925625508a + 437428296027074996544742148712 )x^{34} + (237154132842710820621059699064a^{2} + 305961608567110026443122413736a - 308560446404240819224305326480 )x^{33} + (-593578924867289627153933494362a^{2} - 116959496373532997998916941254a + 111933916503047283105089946860 )x^{32} + (48732617355156407718736046784a^{2} + 95797475966224831293257238784a - 297351600129986796615820362784 )x^{31} + (-537904720015184893732642461016a^{2} - 632174721285868226825202060056a - 152217332024807342999209296944 )x^{30} + (-512640565400005725789150162248a^{2} - 300907154370884932875159533080a - 96581668431403267866901156832 )x^{29} + (-275606736579680555227854622392a^{2} + 361677488083686235139619138700a + 407750300051851397973642241064 )x^{28} + (-174377733875291043193683081552a^{2} + 417603337012681472341822366576a - 624628150491220453766099782336 )x^{27} + (434532718644253060595292534872a^{2} - 54739273803504344231930701024a - 228290395958479559934746724568 )x^{26} + (-137722894038917453720757779152a^{2} + 361253953210200002412815418920a - 165455924393275019503716470464 )x^{25} + (-508198239783105412868891262612a^{2} - 502660585570007246902397929496a + 80551004129021552306170779388 )x^{24} + (-448056956218978530394611610080a^{2} + 233465145675012513962476554144a + 568443272388543410745255457248 )x^{23} + (-592609224809017421834098195632a^{2} + 267759485588959020400481462112a - 241858122310748449426936539728 )x^{22} + (50028275730481721962432948320a^{2} - 346305322897347510567590721264a + 339042174198570478848486393264 )x^{21} + (-197849527383591047550882280800a^{2} - 403397506491564952570601701240a + 483974322490510443195368313888 )x^{20} + (94831844470885239856518442576a^{2} + 123836697462112796968507876528a + 70914682459742933345944227088 )x^{19} + (-87345570486822142560910670616a^{2} + 600222104232632857168194127856a - 425623860872958237023371217416 )x^{18} + (389896582753330834511984406192a^{2} - 343097225102876475445866391936a - 580579021542218028332871887184 )x^{17} + (-335183840044331810146670483424a^{2} + 15266049491222978319824022924a - 329760261031454559798358649008 )x^{16} + (-381945478574076953678651117376a^{2} - 48322291471991323237118369184a + 326480453989996351101496594144 )x^{15} + (-266336527821926642200406215792a^{2} + 378107969509368589556857364768a + 30897774773641411094720884080 )x^{14} + (555866886916882617307810908832a^{2} + 318961238126923392588968912a - 325899624552493517662037455808 )x^{13} + (-547333547207695459513450662344a^{2} - 224975999849963623259348357944a - 483619514792106884963921610008 )x^{12} + (-157330785904486740503666565184a^{2} - 149523740800073559235320988864a + 573756600680396421691848488640 )x^{11} + (491713493965219625601176916696a^{2} + 196805782381182892874548870272a + 332596816500421687562554787968 )x^{10} + (-287460352302071035039991715904a^{2} + 509938605980983711079760378704a - 163558876135213866258540727504 )x^{9} + (456688730581521100581905237844a^{2} + 411031058855511298852719160296a - 220777798299100734938896018408 )x^{8} + (-208464063924307872610366324992a^{2} - 90934170550846904539442960192a - 465960050120650396133573332672 )x^{7} + (82016795001577332123030026400a^{2} + 215561377886518183146076622496a - 516858991080366564090545070496 )x^{6} + (42709033227001982865506571776a^{2} - 147800629098961807607917114976a + 581412566640652711602028694368 )x^{5} + (-519577716644517448497796250344a^{2} + 11009281726106518375619084720a + 144899220596932498071198716184 )x^{4} + (-449840467207901163973116113152a^{2} - 500194524207004146576594256640a + 147749232345783981973631335552 )x^{3} + (150746850255193278694811818640a^{2} + 367183941033213202703761868736a - 532423623481630988277339318064 )x^{2} + (560574959704808045125793581968a^{2} + 423582807166720636082788005088a - 559409160215611856936313084816 )x + 179903948793984388482385863824a^{2} - 510443179650190046895495855140a - 28476058201018010024580386668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary