← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-491848459026587606565364231044a^{2} + 307646011113494252361115982412a - 55473721612050066974257419740 )x^{46} + (-360321241390508371647944066064a^{2} + 465034134419832787759239327304a - 419504327763989534051410515840 )x^{45} + (-77737123960577287752970069648a^{2} - 441567431792831314420784046292a - 33984022730381858765673641724 )x^{44} + (503519328073975910127484713264a^{2} - 430106735373237316913201828608a - 398508564224889521601163775376 )x^{43} + (486162978658735067544879333116a^{2} + 523620227664192614553982285232a - 519258963032649228824217814036 )x^{42} + (104762102511396168121895774552a^{2} - 503281772100321589840896884472a + 98827406597920234502683953880 )x^{41} + (-163642047581859718620215333404a^{2} - 195052799239262918870672267104a + 441772675055066338322577291272 )x^{40} + (-432576589961171797592070397056a^{2} + 352751109571170524092538917952a + 474405116512307350602302303712 )x^{39} + (-506634917123622254083464592792a^{2} + 527314859041260415564655419024a - 133210095554549888579805704776 )x^{38} + (-218346042175982869509833162792a^{2} - 419049926311499885898409545440a + 622297631963619926350131125320 )x^{37} + (-195395561449721367786131282244a^{2} - 437016542022111145990300206320a - 630370671473447547418029632936 )x^{36} + (-427782192997781050526413170512a^{2} - 627851130473669062627985482496a - 247150037129054798084583934480 )x^{35} + (200336892197138129451254315796a^{2} + 84936846749544702510909380140a - 57088586568217696625743663928 )x^{34} + (422026135381668297652683073576a^{2} + 442137061778313877787433691776a + 416081040314116502506905322592 )x^{33} + (431289616684032755956326292632a^{2} - 190195251625459284669481472158a - 424320424893579601550605417554 )x^{32} + (-554015859868417715113666589632a^{2} - 429497725305005132257477620768a + 435772530177410297928724955360 )x^{31} + (-281207027989577498081461840552a^{2} + 518334176060253520744780129832a + 465008531181545617462296072160 )x^{30} + (-207063893953907583468568954168a^{2} + 222135586579426810902849719880a - 20876842055794213732057145400 )x^{29} + (-576427382050461605134520546908a^{2} - 43630980493657722624272472092a - 15550987595031501878305585404 )x^{28} + (-31074872037817969451652488048a^{2} + 628525803845528424748188449936a - 68994530601171413630821718768 )x^{27} + (234486230636786878875560807704a^{2} + 435041483997765408137026062936a - 148365618108923933854258389384 )x^{26} + (399552790730260552301253272608a^{2} - 74330651284484406883551524144a + 625973498840000995400503228864 )x^{25} + (-178741535118197044474068593840a^{2} + 219498614980751922720755220960a + 43034126499111198337095119056 )x^{24} + (-449429726797790854368422497648a^{2} + 279317062611354790637773314464a + 577565503870043855295644571856 )x^{23} + (-314744513511837994677243609304a^{2} + 350341423257363470653805946632a - 120218740685174420435075786488 )x^{22} + (167592315338862006328520509152a^{2} + 487077485249636180747432562592a - 157029378261984956758170154592 )x^{21} + (159149107485342787818371034616a^{2} + 550864524225043430426028041392a + 83136921295675243106500684456 )x^{20} + (495511652407395089655024824000a^{2} - 27581324052481878278833137664a - 139307979552529110020042918016 )x^{19} + (488490951247778956387997707640a^{2} - 557210590720994312842190474640a - 191707933217555654471273923920 )x^{18} + (24422870202056019062986937760a^{2} + 213407813995513421413783906048a - 118109641171439818230033194512 )x^{17} + (609978896328013529370102585012a^{2} + 93823141981033328019329471976a - 358150676161167539665968556388 )x^{16} + (462262997384904470118944429536a^{2} + 12561500296366284472530637600a - 46437955367382994492526016224 )x^{15} + (627347901397730370556883880408a^{2} + 307585095246139087338926561232a + 420142845459308282855921077520 )x^{14} + (6630027513950747611876292720a^{2} + 68556206880435851683725138912a - 427935880078028764555420388944 )x^{13} + (-405427490541391284395883938344a^{2} + 226475300154975948316405529192a + 402562079801095308113498198560 )x^{12} + (-112744368269234100728425446368a^{2} - 359308852608091743111452378688a + 99234845128506477502360731232 )x^{11} + (459887747216004299427595240136a^{2} - 294470338777444583531016915912a + 491160386498615089914174841600 )x^{10} + (508717955094506746438160155344a^{2} + 282192605337072088647435266976a - 487701527636473999331943718368 )x^{9} + (-468496161795513273062430656624a^{2} + 201771782970800274965357439364a + 378681791566616709047919743140 )x^{8} + (332907461560800033559166748640a^{2} - 376265538024065565417848137600a - 190324392676645444146255949792 )x^{7} + (85656172416562756778678752032a^{2} + 413545216530709213298492151456a + 541460813450216228427968708816 )x^{6} + (-168183766998824696641939221472a^{2} - 150072944842861801822059323968a - 472139401105822244286842855040 )x^{5} + (215141636236416561103778406264a^{2} + 286838050286924970639060962168a + 179615569826351850933314385128 )x^{4} + (325750990724189012812284038240a^{2} - 170449516238612191992522888800a + 585027377069026093788529685728 )x^{3} + (-54671753034754518711559363984a^{2} + 571293862713139932389500290864a - 210371703376215237864858059392 )x^{2} + (-161681518364658533879319348512a^{2} - 328836989261808450983339651712a + 313158400527284362521995776064 )x + 383980210480704631151781012112a^{2} - 301647397310148111875024231024a - 131353582821905599861208189028 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary