← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-387560023161988555479518388484a^{2} - 605946907749591813378865294492a - 60683217179197053985141120908 )x^{46} + (61787059101844878334525597744a^{2} - 408221892964899954204269838488a + 310839918892639167964422396208 )x^{45} + (619771600780331561154912647920a^{2} + 616887576034047138933401034052a + 172335421903621390580804412396 )x^{44} + (-352847806669704408954591180432a^{2} - 549851973500488470421514207184a + 253922631651741204991540009456 )x^{43} + (-189677373050166772210796572972a^{2} - 180908862768548986344833046600a - 446056874472075688817737727356 )x^{42} + (-11745040308481079866551720176a^{2} + 118649671707810393452081898888a - 35818721520506585392744650632 )x^{41} + (-438826942647426220111587411748a^{2} + 326928566363826489616339174888a + 70168286854585884058005373052 )x^{40} + (378957382147582862657300866784a^{2} + 118517956509001900266555279296a - 630070262682943669429849177536 )x^{39} + (591107150811921977938068170328a^{2} + 443187840837263083447093048200a + 71878195838024977391641133312 )x^{38} + (209943966316664108273925435608a^{2} + 262286671065821478712122738832a - 26044438636469192028896546472 )x^{37} + (126600607925363053490436552244a^{2} - 380582946049996442880996251816a + 378466158092599841167082481184 )x^{36} + (297337909453162744465862131152a^{2} - 99533603687612879295848323344a + 229343734605674255456261690224 )x^{35} + (41573328809689406071673992276a^{2} - 433086770403900315032334893948a + 27341937001797743396611577168 )x^{34} + (627142992733726530869857373640a^{2} - 280741320138065328223462151168a + 324632879409225492139196752576 )x^{33} + (-5662437419030179859080581468a^{2} - 171042539169890461610645291282a + 543294547589284514764950773414 )x^{32} + (501981227005394943144805474432a^{2} - 349397378791848096468932590944a - 378799080461232379272771916320 )x^{31} + (-429628219757218509883660213224a^{2} + 2600777368328890451177104008a + 632937540560941397198019022160 )x^{30} + (-489852920074432722548100009656a^{2} - 533911227949500568248401172344a - 76683563059540785706025807608 )x^{29} + (209729722780326642565170995204a^{2} - 357115596879824498508490299260a + 10845269794320233484456420684 )x^{28} + (377271098530330333976061706192a^{2} + 628584700829573669410134727984a + 146146927959744171086645702416 )x^{27} + (590924026093322776931841098640a^{2} + 506027439116444273245570153960a - 194565480312580568141836230416 )x^{26} + (411118567017797618692818013056a^{2} + 300869292375173374059400995072a + 2156994926238760853250927760 )x^{25} + (502168470246629272964958427416a^{2} - 571471205711921187593349290024a + 434366589599515228484557342832 )x^{24} + (-191559176749282213308853189616a^{2} - 549110504673337221894675901024a + 361000410166477674091415071376 )x^{23} + (461343586769180338731693568440a^{2} - 592782742135934098815418670424a - 252972947716515335048943789960 )x^{22} + (542706808489025800141819439040a^{2} - 480966886186561392593570010432a + 463628005668126195925123369056 )x^{21} + (-281604293485535209784062024240a^{2} - 436847924048284064353500961400a + 372646549183036023400113146400 )x^{20} + (-601659323533264477033492534848a^{2} - 513654157464966919169983440512a + 132028673991190069762431979232 )x^{19} + (-488646877566217186522311539624a^{2} - 408462213985818076160397412320a - 178587185231950827856538145680 )x^{18} + (-145673460251799187314524741280a^{2} - 384659843024176730299841092032a + 151748982251094695255156075472 )x^{17} + (294122749032491793798585004212a^{2} - 590304199226857093154737220376a - 273301959031784560041052971340 )x^{16} + (-424730181233273298461903939424a^{2} + 349359499423703279149231948832a + 91331544054934984465198080672 )x^{15} + (-161558791798791860477959675656a^{2} + 442860721217369270110476603728a + 464537613479324821930197365264 )x^{14} + (-382284323433015201646253136208a^{2} - 305748712111916054698448284896a - 295015360151130338352660045520 )x^{13} + (396100101727711400371627184328a^{2} - 295541471114410600432047169352a - 554819812150881361429999669776 )x^{12} + (-334009529127388047265542778912a^{2} + 622016387927370242494077991808a + 9296771032927719859184122720 )x^{11} + (-144543955822285594889831875112a^{2} + 544015008183993137511596441848a + 587613468008695488371605068736 )x^{10} + (-331727933276415014218974803408a^{2} + 383407439779220036376360138528a + 174659912184088242961712694688 )x^{9} + (29642334225298492181465826448a^{2} - 549986725009974211396950960732a + 280971202794144427712059658852 )x^{8} + (-265429253884689289722375543200a^{2} - 502720245974519982184702662912a - 80364718139753207528083980000 )x^{7} + (302688773153006569057920460064a^{2} + 340944631698081579100689186048a - 418623597768778364246716160656 )x^{6} + (-167811050130470231666053928960a^{2} - 341430331969797690904678834176a + 134917154686744692347081373600 )x^{5} + (619522526753121577649608535720a^{2} + 421189299284591695123368951096a + 380819059173639084872553538888 )x^{4} + (-563173552509563602034609287968a^{2} + 528345226998776992153818199968a - 198333284533252152224139655712 )x^{3} + (-203247230971442740721290073360a^{2} + 552394648953823921490429132304a + 199690849501296584597523608384 )x^{2} + (593331661199922024646521220896a^{2} - 620287019114396472111227464416a + 457551276117024842888902722016 )x - 467920984534924324221801312624a^{2} + 253529687277533365980612790432a + 273321328430888025505894927724 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary