← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-375946781408533857599743304164a^{2} - 441818140778246841050583531372a - 416810464050770115023496005492 )x^{46} + (-338576146566106426920872278240a^{2} + 324197202687817699818007073544a + 19635954441375837736709572832 )x^{45} + (76413594761946327059339809784a^{2} + 24101772603968104682760668460a - 530466017663743598830072109460 )x^{44} + (-322248137632983616776376695280a^{2} - 463749087668473327631132934032a - 342560656387207182748441109760 )x^{43} + (559594141183649436588582021564a^{2} + 633025434112491812580935014736a + 548214814697900360132223320844 )x^{42} + (-626271623652995630732616622800a^{2} + 113358173340346792243452024824a + 102030159104249339991293599488 )x^{41} + (464716607541045649564288548552a^{2} - 491750119407520816119324511276a + 550112561144540965447220314388 )x^{40} + (381334662646888041258508589120a^{2} + 517667861065647324328959966976a + 519205408182853313463302063104 )x^{39} + (-416248368067149042743786646912a^{2} + 453183300980870040527631750600a + 302231019165813970210066534216 )x^{38} + (400654097300790191715654395304a^{2} + 536482019519707279022862836256a - 56725544103112072929704935416 )x^{37} + (208524761444431013192189808236a^{2} - 501380797348859250258555335696a + 247983101147249944519509221208 )x^{36} + (552419112706234858698595047488a^{2} + 610819650964324778687386498336a - 505161397046265392654068197728 )x^{35} + (-180964956715462937806589584172a^{2} - 569758359134214943332503528772a - 140210900150079880922262870824 )x^{34} + (376451845397007230396055103304a^{2} - 351556672006097086115732359072a + 32682614687181016225855456032 )x^{33} + (515943226509831173911756452108a^{2} - 462320311316529128707141915658a + 56067137695867004083986613954 )x^{32} + (229995497143747744594950574912a^{2} - 437016925244438048881706264480a - 11765413272313478771512843808 )x^{31} + (494740423023731684746585530488a^{2} - 73388193017794697935078573400a - 420465639458240706236809128688 )x^{30} + (-263103905504739773203184064088a^{2} - 25072047949940923654926726424a - 107413693696385427091558465752 )x^{29} + (543099229437335677681945073580a^{2} + 591958697669476541864151805860a - 539877238339058566552293165772 )x^{28} + (609755712416205505310491555472a^{2} + 179974526584799814665992629520a + 240910256827708621074576700624 )x^{27} + (95593926801730126337983001368a^{2} - 488166344488217876278406690288a - 76106044415332061603119942224 )x^{26} + (-621858311435944380371416587584a^{2} + 332891056744500899272550072752a - 306128362658887008764883768784 )x^{25} + (629624009345288683191454867928a^{2} + 447448282160340832447579209816a + 437282042972629441082215454032 )x^{24} + (630764028559094469517502319504a^{2} + 590509891629330940866472510880a - 250977483621625034674985919920 )x^{23} + (-96207683450787631842632067112a^{2} + 547413730669631472635820809960a + 377731918820142374130734026296 )x^{22} + (-346823168464111645969360394496a^{2} - 498833346489569755621687055520a - 478360210667675694916058814528 )x^{21} + (250703485335755213644816047752a^{2} + 45240420971640201038959914296a + 501942724538617204642960913968 )x^{20} + (600883840995291348727884639936a^{2} + 110618980831545681257647748000a + 186515441601517933477851679232 )x^{19} + (629824853365073293845739505736a^{2} + 163600767385750648609232241696a + 264111832657503839230086699840 )x^{18} + (465813142533604482882514857472a^{2} + 170913700529508549442126245504a - 46807490684982238270821248528 )x^{17} + (567533188303100980697919576924a^{2} + 205103372877000238134147015376a - 564337447872529088791681867180 )x^{16} + (-424730775869258432581024508704a^{2} - 165348395638622432261221082528a + 517313914997152513334738759584 )x^{15} + (399184692091420810010755365208a^{2} + 255612651809694713492202903472a - 348887115966978942939424816528 )x^{14} + (-315271944760268403315274745136a^{2} + 55187515850368523909072687264a + 270250131180602575282250243856 )x^{13} + (-241901028364389811500647282120a^{2} + 296843789337597243928171035832a - 216688299466471882611705512816 )x^{12} + (-33349309909622958908612282336a^{2} - 129444196144995143689801741248a + 628086239319186821452548061536 )x^{11} + (-242082721409822754320310598184a^{2} + 586318778777481275078108463960a + 121671915491610698796913759568 )x^{10} + (532277231952755609112824182480a^{2} + 237755609689342479474690967424a - 162175346908859792585491241120 )x^{9} + (-115459825895899703360940350512a^{2} + 293795271599805939629370033908a + 330458476287711328222994268020 )x^{8} + (244544635782565476076584091744a^{2} - 113383138773880524163279542144a - 103486240898623073666082123616 )x^{7} + (200564860090413542485545365472a^{2} - 369674243825635534613329769952a + 455574369195897499122273272784 )x^{6} + (-438468800421605030222071232608a^{2} + 270806007557238586856003576320a - 297063929826598700435802342048 )x^{5} + (-570721390482152785533792776280a^{2} - 88578135827419489669244807784a + 86696363340977761985529425528 )x^{4} + (-324881910432402897092634657184a^{2} - 521918123860396092119626316064a - 218339047519839609847243229280 )x^{3} + (-356981955074796945554552917488a^{2} + 3297986481203309619297296432a + 217272732086116857172703168064 )x^{2} + (304693067226653652204601184928a^{2} + 582106345130036406453114448256a - 360372654069856053352296769568 )x + 456434824983636569899272692160a^{2} + 106666429008713682252532930656a + 616822347640437939776202879548 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary