← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (431915171044309432317927834112a^{2} - 311746290620556390207174881072a - 285587609257479210624188857104 )x^{47} + (-313340121567146467706183046644a^{2} + 53013794013191860740342544876a - 32751999273004567256573331604 )x^{46} + (392960231875564155584232338752a^{2} + 519501061952821443827498596040a - 354899855931547157587494334928 )x^{45} + (-113928329416501093784877944904a^{2} + 623281048232750255978333460036a + 10711718116661208415247256036 )x^{44} + (-56500608012306042395683482256a^{2} - 138455278449711383919633328352a + 95574063881948023106533078176 )x^{43} + (162966630460266821396718400196a^{2} - 451359147989996006595542378920a + 485844812020366722459336722228 )x^{42} + (-240543350238334361678507164776a^{2} - 67184942102191448649946418040a - 343035621657356186856290417696 )x^{41} + (534851634908530059126015877496a^{2} - 420339248662423883308365828636a - 381480961390047815996433608800 )x^{40} + (-38161184911555605014720404576a^{2} - 200370197177426313423526561856a - 215987323626449395741018027168 )x^{39} + (-529584118840552175620047529584a^{2} - 130858320454662690047806910080a - 377869288210891003560278403104 )x^{38} + (299432361680304062639746023560a^{2} + 545246701301210925849957974704a - 457358016699227789568824551080 )x^{37} + (-462512325867393238976397379516a^{2} + 129500735525587859072718564440a - 207318451292997908914422435808 )x^{36} + (10404795743079641702117221024a^{2} - 345164630798552971668786942704a + 184955014913391251967686419552 )x^{35} + (-579654235816274741855148531260a^{2} - 53918438110723280994186580348a + 93973117198542197474368365168 )x^{34} + (113850492258619331294422817032a^{2} + 106569397821452880852745554688a - 197260911837007268189969091328 )x^{33} + (-403535489145619661991979911376a^{2} + 423009699995359982084118960410a + 385998588343800447355388517258 )x^{32} + (15154517375057672624037895808a^{2} + 413284858520606667955633670304a - 515440373295187495463422506976 )x^{31} + (458977440951931744785899919096a^{2} - 580335978932803016053283782552a - 18692786614980409186161777344 )x^{30} + (-56805945780858567962111266520a^{2} + 313284874841997492588208018152a - 216449302279169278337589305240 )x^{29} + (-502805437408398590524375614948a^{2} + 454524055853294838878304228692a + 497141396504369894445118628940 )x^{28} + (-14287574679091188715841316528a^{2} - 295535655730104637926397413520a + 460864048943861353577745161936 )x^{27} + (324935182758460865473203887248a^{2} + 204482863903154991965846722640a + 333650950154727332266553360776 )x^{26} + (125033241042209488004115242624a^{2} - 114292223810210039456193677600a - 358047186898943663146775055872 )x^{25} + (-476752576906248778103107270320a^{2} - 265148844509457810766235201648a - 236360572769967355566833661184 )x^{24} + (220624351445453001211245893520a^{2} + 69213683834820865023727748000a + 424691343358238227634674304656 )x^{23} + (614824119299580048236637672808a^{2} - 78689822379219798238414659896a - 565597143735919082338064991512 )x^{22} + (-330330555177910094668403633504a^{2} + 331480753213329599638879022400a - 496423476202825845990300815744 )x^{21} + (133804480422024836685296610912a^{2} + 582828960271717361905448921360a + 84663441563862639897500668392 )x^{20} + (464906847914504177939490286208a^{2} - 85383434760510217167499556768a - 546697490389165438358378781920 )x^{19} + (-92558834456852365979096321560a^{2} - 73174706437467343819934381328a + 563483602085201698662243380288 )x^{18} + (45804392641751223483354850464a^{2} - 508580438080467204075102915296a + 465970813835630765104464869552 )x^{17} + (271910900109840691223231072108a^{2} + 298261103685219561466290695488a - 229694939953596486835111463028 )x^{16} + (-570797844981100239990076965984a^{2} - 175332203336319877833812852256a - 185925528864707131294921280992 )x^{15} + (-368623559853972205545806259848a^{2} - 504038457403999393976855996624a - 381971883797730171294270078032 )x^{14} + (103582354943073226237934244816a^{2} + 493433312282406084577446066784a - 607927063509463953591751695216 )x^{13} + (66499000959307750276146605768a^{2} - 60573233124388397026884861432a + 468932503769190931389835711616 )x^{12} + (482487556611307001498814824032a^{2} - 585012013873038786776540392832a + 394515594803185635487384039392 )x^{11} + (426652298360692890321964835784a^{2} - 146059251852957706833438863848a + 188501480452790396105613842000 )x^{10} + (-237551250833426208785371673104a^{2} - 64912591299458194587175011072a + 433154898039898377245182670368 )x^{9} + (-244346119648010313624410903376a^{2} - 146806991775003391184510294796a + 352566035188476889868608610964 )x^{8} + (406825789770591046795019696224a^{2} - 228849223529186891427855109888a - 287354334528610490616129308896 )x^{7} + (568774457205490842152603522272a^{2} - 265675461724523202794264056384a - 199547015057462722385573648784 )x^{6} + (-515773290140599647340354316672a^{2} + 67054866607458410152964865920a + 92870812190424690819882377152 )x^{5} + (-163773828775400883271846765128a^{2} + 56140633478635201171104789848a + 539551832070864617513539870648 )x^{4} + (207512122313232419428784845536a^{2} + 552814436400474464754508393824a + 618184049405707366166845473952 )x^{3} + (628854550131908945735004164976a^{2} - 129467117537200256285125441520a - 317684488346993074359824929088 )x^{2} + (88380272512635612652528238240a^{2} - 62384602259396343521514771040a - 317079933658318306368585287552 )x - 416158414023351378092595227424a^{2} + 241861455870391019921753259376a - 203830671727294381154917564532 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary