← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (-419025376668101136116689779824a^{2} - 619901042064137056574859539720a + 390527730254008005018230578512 )x^{46} + (316133388710359889832236364304a^{2} - 232973691549734771718744752816a - 264781477365372142079255363168 )x^{45} + (-66744411833363431490239047072a^{2} - 355524980546909169916242111100a - 181432412695589646864830677740 )x^{44} + (415613324807284211558712589184a^{2} + 168067359355405042281708866784a - 236003651724185869335916685928 )x^{43} + (334313958060268844986427634080a^{2} - 574640262195767362751614002072a - 404820888584049782153818099604 )x^{42} + (-496737947559808468017389147832a^{2} - 148096996661825357310493914152a - 234433701390007945671229601712 )x^{41} + (73217446013291414206875297792a^{2} + 249171267266704758141803047072a - 18437866337759878103439033376 )x^{40} + (305093761303447569240450424176a^{2} + 305342052396195297609300866928a - 569863407732072944102862208096 )x^{39} + (573990871365958888035839502768a^{2} - 210933034365926252680880202216a - 453645836659496168600645263788 )x^{38} + (126058867363681765445139299008a^{2} - 59138742185261889864258044280a + 62863806782461086582927849736 )x^{37} + (-590474376881381821373872428040a^{2} + 44763278962047703576675525488a - 211659726920919295229885603192 )x^{36} + (-269803355398944110446287904672a^{2} - 243862342641433365861831605104a + 537703095596531973431643856352 )x^{35} + (225553066770526696944141489172a^{2} + 293417189870902627640702049812a - 488760085040106384731443703056 )x^{34} + (-101129079692940427393027875320a^{2} - 205236043613450277883251558856a + 591401244328263198436308554688 )x^{33} + (-384285686074806335685944475418a^{2} + 516429968181839686191347589734a + 426328143031378880567715214488 )x^{32} + (-303979307077804930673256952544a^{2} - 464912499707331136484326423584a - 624061440928766348068129923200 )x^{31} + (568763737084038492410434848600a^{2} - 240817810184116465336279823480a + 448039739461871157307468109808 )x^{30} + (209431694563248612788055479224a^{2} + 293390856778079852484420079816a - 203177060675644204221286109408 )x^{29} + (-399917660614629598879579197728a^{2} + 218724671167980523595409297300a - 519609592796125315378930812128 )x^{28} + (307069592570799576618035608624a^{2} + 210495772855473731516176992880a + 64514335616215640784813976544 )x^{27} + (-48308260125461355151185038856a^{2} - 307023376512171091288577600544a - 61681098460548613551128052312 )x^{26} + (-259758232074503338113416373072a^{2} + 96305518781633736832208814952a - 141881265680736191627969760384 )x^{25} + (199191106302519149124919275276a^{2} + 583017600586165847771228477112a - 223242339910541109134933276468 )x^{24} + (237262818744480993028807036128a^{2} + 415859683122201000579799030880a - 610112362251614680561129049344 )x^{23} + (-515170786197458858313508904672a^{2} + 24627512894091734933495907664a - 385113994352693338991063863984 )x^{22} + (199100902385231161077805087808a^{2} - 122837796181898231025282213232a + 146088576290058708710348113168 )x^{21} + (-598768773816792004192263506328a^{2} - 510097507163318269193220888120a + 70897469700452617787884501520 )x^{20} + (561769594154898413592091229296a^{2} - 390629765517206569302503923600a - 304327297763783731881283853776 )x^{19} + (429355449310946748070986218792a^{2} + 332705702819269376119411789808a + 67316737683823307246964387128 )x^{18} + (611532568297982481594490294064a^{2} - 26541602929170657780255691968a - 360848492383483697697137195888 )x^{17} + (-247406929396495564094217123832a^{2} - 83010994641704991182751739492a - 26666146874383019744969872872 )x^{16} + (206671904093957944280342289152a^{2} - 291580306770162962042488956448a - 239190221689482597393891688032 )x^{15} + (-559850207582705583276065286160a^{2} - 569199155195174872401565923072a + 243807793347130100152438625328 )x^{14} + (-362760535976094944494028169952a^{2} - 291302443589801460869027548848a - 97252228376590895491141540288 )x^{13} + (-460511667584476583284498170456a^{2} - 29400307325085204778167949656a + 205154642992876845720809222328 )x^{12} + (148348770355298927174559095904a^{2} + 513167393533356218386795534144a + 474617808479284559458151824864 )x^{11} + (-287505777723133796544553039624a^{2} - 818774598886878154711016128a + 169898439179563403929616225504 )x^{10} + (-297835376566373743350824013920a^{2} - 438278394687361815919308223344a - 413833394307499020464760820752 )x^{9} + (527220394573050778979832171460a^{2} + 321210097842880971117247979640a - 59337516574862618091921585176 )x^{8} + (213800415111124089453495594560a^{2} + 71280823848757395067482224320a + 161296912736744255481239067136 )x^{7} + (383789727958176593793495212096a^{2} - 526996950519431074955212548576a - 607728828205351352764958307136 )x^{6} + (305143865086243150218070015744a^{2} + 576946203158189252469974621952a + 231157431143445111917944519648 )x^{5} + (-343188074518426820547173370392a^{2} + 379479004321845824183960636848a + 258175927400056952876255750360 )x^{4} + (-364983073992272167799287779904a^{2} - 559438836503664833770181173696a - 540197375059069295344905195712 )x^{3} + (621102733572358631876803452624a^{2} + 87917197380604763564815225248a + 490252320447174920328790396512 )x^{2} + (337634235026250049729673075952a^{2} - 197740879769561279286343199232a - 368576813275622668588548953136 )x + 114778319732913309830584145824a^{2} + 617162833782478235668942196300a - 215918390963761910440504011244 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary