← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (32695437235515351579998372504a^{2} + 349470141854512538609588885608a + 324160759937554811279753130160 )x^{46} + (302741352255230029291926575328a^{2} + 312521469272690506188951969152a - 187730374262512928763068831456 )x^{45} + (-195358989468750532574472332880a^{2} + 37508078578105604132787868644a + 37473512153604793074205684612 )x^{44} + (-43357659754153653510048615024a^{2} + 184893504139867952452293072256a + 361970017314601450382257870328 )x^{43} + (275271899662213908210956761160a^{2} - 229268079622920817410867848176a - 264551086285830306161276842412 )x^{42} + (-161191411355074629587908336400a^{2} + 594540871352009513789681106888a + 536331288477163872242970582208 )x^{41} + (248966631606217481067094220532a^{2} - 416934742903714361031835280420a + 141039019133196374563596426648 )x^{40} + (6657750068050953480930201040a^{2} + 341574394047526869931074286288a - 551094176419499627878854027200 )x^{39} + (-26582646836241562472559345808a^{2} - 439320918270661809776917514872a - 550482921789295825094885553340 )x^{38} + (476008176042686993683546954880a^{2} - 7039276739658202334592230488a + 314328056950732348064888493448 )x^{37} + (616523163973100218844141191136a^{2} - 142136071492414222766450156312a + 580918965336338653366718121512 )x^{36} + (147446110525403641396711901376a^{2} + 561871550815809186528695476240a + 53623305051688711187960038240 )x^{35} + (-142117902785096399056866942548a^{2} + 539035153453058681872094585052a - 391438176833061885694141115896 )x^{34} + (8007231545992495007589397928a^{2} - 545548072105743165722671270808a + 511924046341955428845680146192 )x^{33} + (61288782308181328995346018298a^{2} + 77073881338962320801361858178a - 126528268367653892767273984924 )x^{32} + (207203420323392055336417748032a^{2} - 133237060553197078041025567360a + 613501221390316233803984402240 )x^{31} + (-87157345821637383315429088792a^{2} + 316365540334762493831853057448a + 541675261030483540755302861968 )x^{30} + (-586560419243824127367165588904a^{2} + 226793268196455835754224551816a - 202471442124796625882712922976 )x^{29} + (371341054148940165244877928408a^{2} - 159033910245288504077692580028a + 68363249432248742129643187672 )x^{28} + (338812974321375064229053949328a^{2} + 147252306940487678937910228912a + 587513400984066782239068103680 )x^{27} + (-592844838422909435243220777448a^{2} - 526887659554619007995069001728a + 254022401086202365479589836808 )x^{26} + (49310028660176739132548646480a^{2} + 215617554008523629761350870664a - 414322064719528195341987913312 )x^{25} + (-50000419212234637287403749732a^{2} - 247144248825745028697325507832a - 464912175524618782211643134588 )x^{24} + (253441004854284096437213956608a^{2} - 483922449475119001082551045664a + 107841059610839878808520813824 )x^{23} + (-353533520458072006286110770368a^{2} - 545090323414814794515267603760a + 337439959123068541903574707920 )x^{22} + (243631555681579496050978416160a^{2} - 336416018941623658075617043600a - 18674360148383403348356185264 )x^{21} + (435401102471391649063563994192a^{2} + 568550045899382926811801829344a - 87814026926508535288813653208 )x^{20} + (-626399593363381371854905424688a^{2} - 62141565935994833785150054224a - 600632662576722771935326917072 )x^{19} + (291957825398139533422482899672a^{2} - 316384460403018167345803756320a - 64974700516686777775638890328 )x^{18} + (-352449339774563867400710469488a^{2} - 607070458331271316269534647552a + 479315766055863348171862606256 )x^{17} + (-368469016431765658392513946464a^{2} + 169177111439953097778640896716a + 607212925612787977308088933736 )x^{16} + (-578519072921972392723217914816a^{2} + 570908395756673352055295548960a - 559750366888346335520914983904 )x^{15} + (469646400538328358850858811088a^{2} - 503231874240882441093880748928a + 550967379472905505459817998128 )x^{14} + (424105465759517806712137671200a^{2} - 126657476834391123167940991952a + 570111695746221557516827953280 )x^{13} + (-421813314468856297463486525736a^{2} - 268531394483477804896649885960a - 486513939141766386976752020424 )x^{12} + (380065852743917891848162049280a^{2} - 426883711872546310805082999168a - 568508827918879701868890217696 )x^{11} + (-185929618182179884367189399272a^{2} + 612948089470059851724348016384a + 538482036377165534193537360256 )x^{10} + (-55180604030554709461483368352a^{2} + 485849309516965760879617071152a - 526153550308820108387216166032 )x^{9} + (-595964796312430995633440900668a^{2} + 330207617048128871077499106456a + 330495650080232771159220748840 )x^{8} + (-171392178780516302150919946944a^{2} - 401822458725105833983693345472a - 344341065070214779711208102272 )x^{7} + (297247769401364404594667588512a^{2} - 130758433769844900484332427360a + 183940506572378809330582549504 )x^{6} + (-481683172910176436666803091840a^{2} - 120025287902812917412733754720a - 513362643866544231230788136192 )x^{5} + (660000171760126866006014648a^{2} - 93707421834670348048725079552a + 366672587565095118347067892328 )x^{4} + (-491908734471752024234251721216a^{2} + 417310355861070566945605249280a + 184610452372628758103270871872 )x^{3} + (605760163124639151380707644944a^{2} - 599730488415571819927876881776a + 241504795809286591702619505248 )x^{2} + (-295312292277359297037943743568a^{2} + 490555320148764122733675384960a - 212318827519206411468037335376 )x - 491975692730680781238653510448a^{2} + 269340553342871321833185441516a - 356473579970255376855596381388 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary