← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (-10523709083307137880781801176a^{2} + 180297663778916804414021444448a + 249536761421639390186229357136 )x^{46} + (212904175064346168757464817568a^{2} - 90906816151381316653088978608a - 556183882357191062833642819344 )x^{45} + (-214267937641463696470545995144a^{2} + 544054050879836350052918239628a + 546095288390202601444372901932 )x^{44} + (628229276344799030829644876688a^{2} - 439130526430885368838425807280a + 310284806315279424167333451256 )x^{43} + (-431291634498818210449381260352a^{2} - 291442087030109088865560146912a - 315443137213467060431668313364 )x^{42} + (94979638348918404854686906896a^{2} - 124441746067499130894102965752a - 523813322679685018098007244024 )x^{41} + (-276624354624836308281511323724a^{2} - 414191049284027452842634031528a + 219959907106305836237129249136 )x^{40} + (488170370461051916176676992688a^{2} - 353332964106184079597252944a + 88925694383689835067400645248 )x^{39} + (-405068313120236572033027040976a^{2} + 275376353604905449149694112520a + 10860782037866654766047039988 )x^{38} + (-412111697211920620616406720864a^{2} + 562444612692763767952002186824a + 299361577476523027441569837912 )x^{37} + (436214975015588527779158872072a^{2} - 527317271792290370405980316408a + 433083748381689451983876570424 )x^{36} + (-159565878629578544647695721536a^{2} - 82193543909950829907363295120a + 244920518011756720900945533472 )x^{35} + (-434959143913987163432669730500a^{2} - 188479254262598946122316151756a + 573900353963124271877822134584 )x^{34} + (-70485029604013004899376132056a^{2} + 300711318557250714625201560840a + 260507118529918959136884273344 )x^{33} + (-128259280372641668545215891990a^{2} - 92731343535045760306025597978a + 425496501403143333953362586300 )x^{32} + (-36245304794230814118186029984a^{2} - 96190256166484422659948314016a - 442297406833367207320024692960 )x^{31} + (-592654506242284858739651971672a^{2} + 81629837654027843962920857848a + 609068563351767653087177466656 )x^{30} + (-608687851485372024494679820456a^{2} + 605865710394954302086759868872a - 9499556834909713532649161728 )x^{29} + (-393038301198046214680983152576a^{2} + 70350753804036829646628426108a + 29432934403204628251422510776 )x^{28} + (-279856583479316400734328016336a^{2} + 353091024269297986069023021520a + 381467074202893899847602663232 )x^{27} + (-569569896033791838787620241448a^{2} - 70257868040503510459391535536a + 76556961146866433693879548392 )x^{26} + (10575302655351242743094089616a^{2} - 179086819428631087573490479768a - 162801140391765633950078976384 )x^{25} + (-429098767337265949326596638036a^{2} - 283646362726492568227760014952a - 233503660086314308992437266892 )x^{24} + (-135372690076130122611552692896a^{2} - 281459479611114192369290974784a + 200705520043416294650391493536 )x^{23} + (-57251818465853122343220670560a^{2} + 380693688837458393285680954880a - 220880000679968583661278472400 )x^{22} + (-512073018625493301874781743328a^{2} + 365612393079315337560153730352a + 46278977983811994859522843472 )x^{21} + (282147508982848883437035711176a^{2} + 9151437424643213420896400608a + 505051016184622748497039538504 )x^{20} + (368527997092387392842677339280a^{2} - 248847715990978971435372799440a + 501640002970437641781524829968 )x^{19} + (521837828975637942813696058824a^{2} - 299526242184737667669733052288a + 496019235830777102416065715192 )x^{18} + (59339786545310018196437442896a^{2} - 484716803292112347505578056992a + 277251854567651646008006152080 )x^{17} + (76437127562893981222586938936a^{2} - 73079464993032751707411072820a + 78753313406820665739815115696 )x^{16} + (-614157014581767082844245808320a^{2} + 577732644810095170855277393376a + 326934146649264653785626056544 )x^{15} + (-550777769559246375101452347184a^{2} - 430154287353560412054362318624a - 373754747037111124587991367920 )x^{14} + (-540713103796534449374010611776a^{2} + 214082238314451904492544212912a + 434243227658918198569871864128 )x^{13} + (491164526348633576053723726584a^{2} + 459300290806044452216320294472a + 267523283768022780079606285176 )x^{12} + (-167382123739588732606602809248a^{2} + 524700339137731324704819911744a + 569979883294654534865837229952 )x^{11} + (-258921139379464895422061511880a^{2} + 30529007035645497054213087328a - 276637435684729353194897586528 )x^{10} + (-207817680841007179287925067872a^{2} - 323955061908099828442916951344a + 3378675166340235630095245296 )x^{9} + (522182448819190308165646899812a^{2} + 151802497496949891537226850824a + 258223564070581527169862623176 )x^{8} + (159420495536721576582819539968a^{2} + 104757729610330364470207944960a - 508997859228369103082583782720 )x^{7} + (150502341967433644799717812448a^{2} + 514746395768398579563926593312a + 481570420982722374793534220928 )x^{6} + (262280130158490178753177612320a^{2} + 605149473489981702510175478496a - 191658558336595330327304452192 )x^{5} + (-237716045092515539336398296568a^{2} + 337747535654247427927432859984a + 451439833801993142460314047256 )x^{4} + (-627584309232076120851404910336a^{2} - 8621950184339454968568319488a - 40627994112838849866366941184 )x^{3} + (205428950377625031616938738272a^{2} + 97123940158187521631085441008a - 605134793400273057788649570640 )x^{2} + (-410024760003233291556844719888a^{2} + 244298397659631978326233884000a - 169539737555524295437021697328 )x + 587521064286903312387380687104a^{2} - 142936472743470998393625356420a + 444584036876952284381057775412 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary