← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.145730_364532_505526.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((-196433362831824001386834844950a^{2} + 49931373773887055604507827655a + 52241332535941343799997746680)\mu_3 - 199070712761101600527560279523a^{2} - 52176022912429960396655871723a - 308943092743329530771001879094)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2))c + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2}))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a^{2}\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 3)))c + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (-a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (-3a^{2} + 1)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412879072219335437454632713968a^{2} + 134774184367406848165300027208a - 185639297233877551093552114840 )x^{47} + (112740387408236463292836595184a^{2} + 271239192958633337333818403536a + 53608365573997543132669144064 )x^{46} + (320868333774512887569316427408a^{2} + 356698479342894230685358243392a - 162950435302936157219542992592 )x^{45} + (612328912262025660628563422920a^{2} - 218811706500680993637005423412a + 330457927328670791638820868364 )x^{44} + (623131646536294878788253992224a^{2} + 595010407951340931622121444208a - 222492128429574681242229132808 )x^{43} + (-102936931144103538962154504120a^{2} + 596591420355083060304270173368a + 278283841096253536266342455316 )x^{42} + (-385902394058596150064448362328a^{2} + 398869661249408106812729687368a - 386528486303482803325789259976 )x^{41} + (-415757341700021377488848950576a^{2} - 324194876876517788417817186556a - 564479735505873669026737594008 )x^{40} + (-274241466153908582542748627568a^{2} - 543506785582082135453265872496a - 77011694031644007675071858976 )x^{39} + (594150120479596079580924425392a^{2} + 183414682133436872046299358168a + 16093008989006716464524270820 )x^{38} + (-18533833110365090526299973408a^{2} + 86790112462562082006022619912a - 218017431415483142654848576040 )x^{37} + (-303270616856787244193346146864a^{2} - 190387984228181731835589839136a + 621695141992708993106223074440 )x^{36} + (76992491928257564866151272000a^{2} + 547426931129982667415133854544a - 20505401260073920244018332064 )x^{35} + (432427271948711613054377079252a^{2} - 549837119929758759010604451652a + 420130118378955000360654380256 )x^{34} + (599249172781456175286384710216a^{2} - 214954662166917632822845177992a + 163140575512606404153281010800 )x^{33} + (-472548626377052118872421051514a^{2} - 442899089625080677842548727062a + 516407590812792560334428675680 )x^{32} + (-18005599642686958674260259136a^{2} + 604026283945553534362241605888a + 516948552555516894256210102624 )x^{31} + (369063638597195065946057446744a^{2} + 397706847627897255117198462712a + 169866138370844849059256576800 )x^{30} + (268899063082631867776863099448a^{2} - 44666759869083619254865038584a - 164163284583233493199614440128 )x^{29} + (91242274794912694410834663832a^{2} - 378801001154336091899796643492a - 70539611577047379722164696720 )x^{28} + (-307016768023446848009142272624a^{2} - 575740933617393841178919493168a + 541379347556031754648312834400 )x^{27} + (112770562193949456807710187832a^{2} + 565090863069823576580304357296a + 138238547825740321982668029544 )x^{26} + (-362744086394109123439157388720a^{2} + 554340255603203876167181236712a - 276069028043216130225542389568 )x^{25} + (-137792571833267030697390565636a^{2} + 305379501543043524623974793768a + 181427208494192448797781574332 )x^{24} + (-606576216081257720886337837120a^{2} - 141436156173236221456067172672a - 205841495006338988716876601056 )x^{23} + (-7779350832922245462974865568a^{2} - 511488351682919324809091001184a + 363355751712432046393681144080 )x^{22} + (-565494742509078078171056413184a^{2} - 474892967609238026035292614320a - 336839505664846874591716055024 )x^{21} + (181676514034108149299043129872a^{2} - 447632783312095252461976522408a - 391205081449015885548831712032 )x^{20} + (-414987737317947278032259674320a^{2} - 542845880297319569085869380112a - 619530570492215442418123617712 )x^{19} + (-80726794950039430687015800104a^{2} - 208618243845256150392730683440a - 544997878349181200300795544280 )x^{18} + (-371276868112638926781005712784a^{2} - 235457103808308370456724376064a + 8237242322655558689784262992 )x^{17} + (-153039476224059252776868599328a^{2} + 229351622949045362489743790172a + 113502015157022964450999745072 )x^{16} + (-177209737524675220074028404224a^{2} - 158451498485182189495063226080a - 482412826880482445079640822304 )x^{15} + (136638752845704012052672108784a^{2} + 380779148160427808135697441312a - 247758564112902100233821586480 )x^{14} + (-35677700771798634806245097280a^{2} + 381877519386797237327708243984a - 556669564634843824764420782272 )x^{13} + (595937835857993089679714181096a^{2} + 125336043608068868584425182040a + 26271442677358163853561663256 )x^{12} + (541280361361161226316206840192a^{2} - 236876993485853546563452779008a - 424218477326320639459619883712 )x^{11} + (-631671487251642434924732739144a^{2} - 520103256665855754670907644800a + 206279156365254219599260904960 )x^{10} + (-582779313217430321045159223712a^{2} - 227340712283072609532285474704a + 386428095467606480088772382000 )x^{9} + (51262995213770890371465283492a^{2} + 455235440757805170760210544808a - 84762237434480092561260578200 )x^{8} + (-44624468226925356856347570176a^{2} - 340478446802259987906209688192a - 424748484607286921317737802944 )x^{7} + (160392529516809640693091882816a^{2} - 365204041048472967149805837024a - 435633822199905948890358517632 )x^{6} + (-210783157405050918409649925600a^{2} + 270617880005023483026777334400a + 115692997665771453362830289408 )x^{5} + (336918620223294375304175871800a^{2} + 373341213997264305343961092512a - 377239614371395713198390297656 )x^{4} + (-155269247881438635333290968640a^{2} + 259206287468207841808522163904a + 515113373324029612822450248832 )x^{3} + (-334905935586281666558115026272a^{2} - 184602450242505507626304187904a - 140524560386760977076784082032 )x^{2} + (-573698463972028481436722982928a^{2} - 498377598458627397306276004000a + 549707522513975908862519767664 )x - 90579424451340867470674228816a^{2} - 205393831878024937377721410916a - 528277752218988587485650921100 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary