← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (390457209049054403875715584980a^{2} - 118771572411342227304410785788a + 574431154447368455151674210044 )x^{46} + (-238426656536439280500591309792a^{2} - 178960087743198703655925772408a + 418282886930402309071407515776 )x^{45} + (377837348881999615051984650288a^{2} + 168774754091164995168337806252a + 503515977004964714903741398836 )x^{44} + (441291483663739150683448247168a^{2} + 264926976045935449303298828064a - 329027644281350130423650721040 )x^{43} + (-395870076056053252706914295148a^{2} - 512488005186985867817492410704a + 345161143781764568829266302596 )x^{42} + (519343746478785351337961155168a^{2} - 271157871454252945181900962880a + 322720802960836037547076607888 )x^{41} + (421372563447054088916152111032a^{2} + 413253511537743069794479534388a + 69046876564557126338539577368 )x^{40} + (-206240833779363475452523685888a^{2} + 118286434171947248035567837856a + 396923410671516593384487385664 )x^{39} + (123712001834899528850587748712a^{2} - 97097042194875909012299331080a - 311429209127881202775437449232 )x^{38} + (-559533618036440565428335973744a^{2} + 44183876327376975207743608464a + 586872726122431681948094112288 )x^{37} + (594576344133175318147415234860a^{2} - 449103982147300173856367607960a + 354339663444229985067068915880 )x^{36} + (521336632008002326726193748016a^{2} + 283706922653980399871994345840a - 450569927711023388140856182544 )x^{35} + (-178450859245766678369810604644a^{2} + 496939084626614837708356942260a + 479386779270952152053808235088 )x^{34} + (-190066570123246068458769443064a^{2} + 28260098902678368993714681936a + 486214171450707690978049364720 )x^{33} + (611370657284113735041487382840a^{2} - 491880911472110282529357463070a + 297799164426180826462081349374 )x^{32} + (15187063400940688943513445760a^{2} + 70344118721735421729498541712a - 139489169921076112016920680384 )x^{31} + (-146630998946762318545347997544a^{2} + 555797467526671570608317510568a - 315291288121647382333338233584 )x^{30} + (25895054389536473119503014520a^{2} + 272971343172677860341387597960a - 103752594708371077832251344232 )x^{29} + (-157745844801946046987515825212a^{2} - 419938360315555184045556291364a - 60042621460632284838566240052 )x^{28} + (-50255738734890334846441330032a^{2} + 381841300418143193327524023920a + 398150670330566711605084035472 )x^{27} + (74408095008593566334325673744a^{2} - 487277018483539779395553051968a + 414309700753915972051191473384 )x^{26} + (-500116810479853570589102221248a^{2} + 207827097138406044398622194496a + 146958435241680856596771441184 )x^{25} + (-266943048772159735714821227944a^{2} + 382003787954348486394343813336a - 316490763457454712282900529024 )x^{24} + (-31731798894063372846587906352a^{2} + 34560431230624317197920715648a - 394581400763605193068592372848 )x^{23} + (248716486926386563422357611256a^{2} + 425071128131018869136975706056a + 478286468474985971558592832680 )x^{22} + (65441808227021782449855739408a^{2} + 521150247136323730762233417248a + 622391175256386840082069331840 )x^{21} + (-40598804576420553505177343696a^{2} + 564456035907083975261956086800a + 130067099362913093199176126504 )x^{20} + (-398220415475115649265004355264a^{2} + 287487400476253107203178361856a + 101731466946546169456789386400 )x^{19} + (-20463418260051751157334661112a^{2} + 284430642904194432964494667936a + 310821593234107089669192211440 )x^{18} + (-116305939110663737599763689616a^{2} - 599752490692643576974187026864a - 49565587712365937593948116272 )x^{17} + (252525941271884467381581973772a^{2} + 81421943361456648248171014016a + 135199484287431347748858620252 )x^{16} + (450021634101116427628838993280a^{2} + 367371263850001021504936450240a - 55044462046713545272734397728 )x^{15} + (-259758777392689606274583980664a^{2} - 210498193549482157572162961840a - 521047419290457286580328893536 )x^{14} + (606099946743342022636489498496a^{2} + 356814008133437974207760622752a - 231802187840349185739349179072 )x^{13} + (-202227630970088519212726186872a^{2} + 346644286940262531379272713960a + 314106251715378396565128101280 )x^{12} + (174369602212108446351885776640a^{2} + 135536024411770798264585553408a - 71166627730219024459259664896 )x^{11} + (444992983964606340556231154936a^{2} - 142589806604384114242482552664a - 428700738959476495614162052144 )x^{10} + (126815691054952696255118689872a^{2} + 527828444561549917526567757728a + 534178358371843813622410478592 )x^{9} + (268552306896755530882125592576a^{2} + 452494582578354636864332587284a + 562266142623476721001307633524 )x^{8} + (-235194290160165340650514364448a^{2} + 166062998028793752568058959072a - 595642025511302513836655726304 )x^{7} + (428854416971514588000970245952a^{2} + 52433482420373354258539721440a - 326099854960870700946485043472 )x^{6} + (226070139191096103277315266624a^{2} + 49509335682556589496238085696a + 365471913734155138288353903936 )x^{5} + (-255098735020089032038328806312a^{2} - 457121704923198178568951885688a + 506046672672502013752816840376 )x^{4} + (-571222109781292770308244947232a^{2} + 423572469743409921210897525984a - 80255545048443624172795941408 )x^{3} + (-591361333153222193262305709040a^{2} + 609789727932028713142023276624a - 407195177379757332114237354240 )x^{2} + (362746447505286967268904358176a^{2} - 382991967795492742721739920672a + 596465909055022782864972175168 )x - 88589583184526082229586899520a^{2} + 502152766335166467070479017088a - 432107686183624827441688599188 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary