← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (-178507550320952452250393075588a^{2} - 3221604569874228209043818372a - 86274129237254249204680665068 )x^{46} + (518311504288645405518418846096a^{2} - 480442142458270810979473489064a + 104187408167620713812709338784 )x^{45} + (53594292576356708977769039072a^{2} + 383963713775581773016640382772a + 311464812923000314247769617660 )x^{44} + (-345522023962006341020298436016a^{2} + 279700290169925800611176250304a + 565265369520531855965395765344 )x^{43} + (351023281559244432446538444444a^{2} - 98563514962793851085173917320a + 233522370432286383834885629828 )x^{42} + (105365940026524951553189268560a^{2} - 153288090292380189457988632904a + 506741707577471500491933137656 )x^{41} + (-59310978614223372759882753360a^{2} + 114367612998557139300725052748a - 65705309416793696701970203352 )x^{40} + (476124667201954084918104865888a^{2} + 557731295245738023882050501248a - 561900727493252004105492461376 )x^{39} + (3208652361078143060578481392a^{2} + 174692677767180674251645969312a - 237117795579686055127596708424 )x^{38} + (-505011273403031958175804904048a^{2} + 118128718230573942348495635088a - 475380719378041984122349606752 )x^{37} + (551003558641359903516797710412a^{2} - 167590196826314455983039062256a + 180158032441057948950419784344 )x^{36} + (-45544755047512694692743792496a^{2} - 459178438469783800077140246704a + 347433358744283645137459800528 )x^{35} + (-416020606956500759558787009556a^{2} - 592541609903292351995513225732a + 155208005216975282372642403088 )x^{34} + (-243077884946048569460132610568a^{2} + 527806657445287523289541242352a + 281393346417610171856918402896 )x^{33} + (-148794354617300459110555606420a^{2} - 175925220264026052617539786454a + 18359011603615250580286058218 )x^{32} + (-151000731969653092312277081984a^{2} - 414281144758670363437811136944a - 209906533719354170206071539264 )x^{31} + (244707886614604133221854158856a^{2} + 466582300450477307643312221256a + 343277978036632760144552694464 )x^{30} + (356329763993475156931309806168a^{2} - 508593436233771565799616753016a - 497136521931842681015592084584 )x^{29} + (456968505544666321260000778748a^{2} + 89499806380613312660894980004a - 192556116531932901008933924548 )x^{28} + (-414810518832679267216645545488a^{2} + 622965108437486048257778506960a - 55828569122172274881339511952 )x^{27} + (542473584654096806818341661200a^{2} + 117283479695389083122908284784a - 519848249991728204282938054928 )x^{26} + (-605495974803108032720204953696a^{2} + 556196014240562890923283537824a + 628372150752506309449365362336 )x^{25} + (288950887843374931836593840016a^{2} - 233976442582451539460305815992a - 534888984967996118565638250616 )x^{24} + (452995148711989498595877108752a^{2} - 479125447232687019944950460672a + 234591739085999282870909022288 )x^{23} + (434467109115862575745398478808a^{2} + 460005544723028480569650009160a - 259979551030379907301357471816 )x^{22} + (403046763494486738434448180048a^{2} + 236987166496218408017076698464a + 76375132381862605860821033504 )x^{21} + (314985219802925107500739275344a^{2} - 496066941864453406676137685824a + 585875940326821986335645750808 )x^{20} + (-97051993690707599666423699968a^{2} + 355774895769023007723345889824a - 305550790639804946297485752384 )x^{19} + (139005785946884581057135189704a^{2} + 330092569791596341355740702720a + 389499064791979127398430126912 )x^{18} + (226721347719015992705307158480a^{2} - 268935950272800331603660952304a + 349339713190549632193013287088 )x^{17} + (-96820094647960099607672249060a^{2} - 371682923851160786317985408400a + 203340540078402087281770710972 )x^{16} + (497610446379466672726315104960a^{2} + 378338137101711063979664146304a + 536520730060601350506880374624 )x^{15} + (-472140862643145728374521352792a^{2} + 427642430489789560520575201264a + 416881588091262552624296985312 )x^{14} + (-30792549062617375347928962080a^{2} + 324673699284965121169048814720a + 93611189776477826588897619552 )x^{13} + (-345490908938345486173608929432a^{2} + 367300903916457784910514586328a - 279131541728471349383672516768 )x^{12} + (-120432409220968791966245662336a^{2} + 619797306341695755232528242304a - 154043562746531623846100938432 )x^{11} + (-24182172612361642384381354344a^{2} - 372241263166151533537438936936a - 625629138992912058124912442016 )x^{10} + (517383955389227804985169864496a^{2} + 453565221944175432821603515584a - 75180467139261967856685493792 )x^{9} + (-73706579901110368656444022640a^{2} - 381700766704132500553447844524a + 371148960988624722290383998116 )x^{8} + (545251299151800564661069584928a^{2} - 438971615474108965740289368672a + 312050310796551435597233100320 )x^{7} + (51215255214731305500335305600a^{2} - 390063319208189759743848330016a - 176813468501809423260240087952 )x^{6} + (-442506277898519509622822807488a^{2} - 372487979349455329351222740384a - 481527007557363631249129139200 )x^{5} + (20108602126874385542748021576a^{2} - 364364789504643218300007983096a + 389592486891334403763279453592 )x^{4} + (-360547027666899188489041936032a^{2} - 267239485751002028900873712160a + 484819611257295586598616728480 )x^{3} + (-367212096671802483186760523696a^{2} - 523607890048186865543282884272a + 195508026421458152926846780768 )x^{2} + (571159615200221170498503548128a^{2} - 456497578641370586186572175648a - 277883463342406774258477188224 )x - 360082156776136006622298015872a^{2} - 617636644614187650931158053264a - 154462417684436394786929580324 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary