← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (-397453594087172196292535179036a^{2} - 89187397722605085519341943044a - 247444671040940973686187588620 )x^{46} + (354577096046985272720054049232a^{2} + 269424026503479576209496062408a - 12175339582402839068830702528 )x^{45} + (300222604426494319305735772144a^{2} - 595938849237669272959043028228a - 414450668888031063576952700340 )x^{44} + (-541544677397697983316208488080a^{2} + 418460297043907992095775451872a - 449048347823010460508122869968 )x^{43} + (427413187643979369865299506692a^{2} - 99866432235474383040223645968a + 227269530249303249490756597316 )x^{42} + (-620641895955031594453794364856a^{2} + 553391342825026974292047822384a - 330174913428824950956462871832 )x^{41} + (350615316940250734283202508892a^{2} - 344986391215397856854642115584a + 167042984894469062808877756948 )x^{40} + (-218357100601078665041804548288a^{2} - 484566592378252753665124329376a - 91130362759697258317850108704 )x^{39} + (-284697052536512859259191882096a^{2} + 400485526312378106859856362016a - 450093093340130933291815320128 )x^{38} + (-514837118881367776640208829824a^{2} - 447960461162350496119167060000a - 383563949789567406014395451888 )x^{37} + (463035542717582989471083995132a^{2} + 554800540821278009650240302440a + 580476553064431174305005089448 )x^{36} + (124509729670740404684431065440a^{2} - 365600865342832402099130067408a - 351211577475436997141551777984 )x^{35} + (484268289847297899140947145228a^{2} - 388434630923124378460885756988a + 298270217916767783524905994352 )x^{34} + (459745607872295101579651163048a^{2} - 514610199028557504425036846928a - 406718659058120860369859456368 )x^{33} + (632204991287106480999553610812a^{2} - 135167355261207793702097860730a + 8128703988719049780770342746 )x^{32} + (-208531200630493757208173173568a^{2} + 159555449323052061226753705936a + 555138602382085237345723603968 )x^{31} + (-420688392430004755682299574344a^{2} + 249980776356730082050142656680a - 340271037652511914895855834912 )x^{30} + (-114772284956489794695035664904a^{2} + 151162518828507022258564184296a - 244168691843402382999343506408 )x^{29} + (-561449003893955599112195075556a^{2} + 584517422214914505108942480972a + 67560921124774696245655009356 )x^{28} + (-608937165885220528337647447472a^{2} - 186412856093039489874824224752a - 548134975102182750588722381360 )x^{27} + (-493305655874287637651561014608a^{2} + 625865948145567409822966616632a - 348606853653689320044341380512 )x^{26} + (-5193707323669237190743852320a^{2} + 29125988430685944729234994464a - 501752472232533190818431924576 )x^{25} + (-611449912912359640584461337664a^{2} - 261977614519906376495730622048a - 594530175006651422145539025120 )x^{24} + (-566668362291696395108917314416a^{2} - 616348032122440148479004632960a - 260005300108987045762084316720 )x^{23} + (104557634927897926645591839400a^{2} + 101066912015389577891064290824a - 419891705325892936560610477640 )x^{22} + (-234278607603334002558742969232a^{2} - 140917013422980731197752734016a - 97071705918087370724492144384 )x^{21} + (48503628589410781115843740880a^{2} + 314151003387419309557034664328a + 612275659975963638994805545968 )x^{20} + (-395334422278196432951194199392a^{2} + 173618005828154865533298486656a + 174393331640334690025258391872 )x^{19} + (604897849936593254564164589720a^{2} + 368631747210339936633649300368a - 56889551647632972845181436640 )x^{18} + (-127853300759749496222213154928a^{2} + 169594194216426097024129453328a - 359824477523933837890169029360 )x^{17} + (-277424505571621828582951315484a^{2} + 328289754211307969226949294616a + 240305387714656077060286242244 )x^{16} + (-382513427012633292955648841984a^{2} - 291049399435542318721293294976a + 171053436559000609360130403744 )x^{15} + (499992470453666656609809401576a^{2} + 142743435598069716888961282192a - 124202109567563431650721613792 )x^{14} + (184405681200150082103509378400a^{2} + 350982220103865151911181902368a + 230339099543235295372684652224 )x^{13} + (-268618575066798540406580760216a^{2} - 519899388499118955380843963304a - 364694666340836612281830866608 )x^{12} + (632999815648539393956472167104a^{2} - 197689923494713315310833244224a + 592351404403876118278756154240 )x^{11} + (-176537824888466535304021348280a^{2} + 568510200036681499951071515944a + 401056363730688408910313176416 )x^{10} + (220011120715509361202332871760a^{2} - 515476890266035013294836638816a - 318359043298633344752821741152 )x^{9} + (133977628325331394576854881280a^{2} + 315183240294111804834397905188a + 103046129913556351488356336292 )x^{8} + (-502074212879198055009313482400a^{2} + 88638216707178341601805006240a + 573721492650650754136817092448 )x^{7} + (-146756579009674539912645182272a^{2} + 126012460103823932683998124448a - 493128128137792651102321361552 )x^{6} + (498174031580171578199201194176a^{2} - 546775342489412767671064365312a - 260202000538706360082933227296 )x^{5} + (614460476854231570008412563048a^{2} + 11663247439415879096890214856a + 608403598154848249225334088904 )x^{4} + (-520834449381622137317271757856a^{2} + 473279896633731236038727917856a - 301466550436658642700994640608 )x^{3} + (-607212758696556214111733702288a^{2} - 454912060208881198128498527184a - 349602675415587916080670011360 )x^{2} + (263868105870173915612990384992a^{2} + 624177981238997903464990300768a - 510349008974117798211895905664 )x + 345483556635481650309599609648a^{2} + 292577795718696743698991926544a - 488799648246567661687003331668 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary