← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (356175729859749591220811465772a^{2} - 223518354697222885009740112412a + 397788770906672621871929190716 )x^{46} + (286161362445744967468516954912a^{2} - 69756140730995010504714948072a - 329379722786979093130541082016 )x^{45} + (-522133803046927319506598739392a^{2} + 322522128582161724235267047764a + 357590096349748551833301406196 )x^{44} + (-110216026678672888768876225056a^{2} + 536883720535463706058459826784a + 273564480130918561532018913568 )x^{43} + (282728027877868083751651031740a^{2} + 269425361724233910947131613272a + 289189078654815262692905304436 )x^{42} + (-122138566306587496276594176296a^{2} - 300420632105796795123354889352a + 599787961107095777614455664816 )x^{41} + (581572180092244729038351405740a^{2} + 347615135310711219885268637344a - 311144281740161161317786607196 )x^{40} + (194850651932269684590447373792a^{2} - 300027664550987547695952443712a - 334679313994550987433701691360 )x^{39} + (-366898022906472431543001285128a^{2} - 169881911535583037358542752488a - 351053082842476049621060582136 )x^{38} + (591197811014586431831451339136a^{2} + 348048040514682198589738935680a - 139663364433619110337690154384 )x^{37} + (-32480782263376084783986835556a^{2} - 32772459250348211322025162560a + 493404742566558178949679423336 )x^{36} + (355353283871467856590182568768a^{2} + 517085653662851179609140123088a + 422234930117574458560459772384 )x^{35} + (626186700989616545445672529932a^{2} + 180919468864223287041163526780a + 66046445393013098369712889232 )x^{34} + (619801967382099549674313604472a^{2} + 592044881130637268903189309200a - 282243979867310716053975793104 )x^{33} + (551590159488720979999837384088a^{2} - 432757784884788912109660898186a + 276144052306225490577987748726 )x^{32} + (382458396612159331332836981760a^{2} - 4368693357869358388543481264a - 230968247423420923259082230976 )x^{31} + (385260355498335163124145913384a^{2} + 491828550890620441038345575720a - 78344222825372659972831427696 )x^{30} + (-138771657753503969178458456360a^{2} + 547404975338893987832838963688a - 366680303560407928923078622120 )x^{29} + (-492422832946774729714746167292a^{2} + 134959211469327751066673426324a - 390080185376806240145824906532 )x^{28} + (-249480327678229816409395518736a^{2} + 553304346264452978174831649328a + 19020753016363935591087312944 )x^{27} + (366954578225451126854599406368a^{2} + 218793518404379793323577697720a + 384696789474886360038113385048 )x^{26} + (-426104149143113914803239021024a^{2} - 401652200321397467126437811584a - 426378923755458984208094917152 )x^{25} + (-234349983602408772176622568760a^{2} + 126694905427840339909346164016a + 575248451757215828251911629992 )x^{24} + (-75633221886329330060709091760a^{2} + 197615009369810674388364352512a - 157075056098427458007888344688 )x^{23} + (477781288884266697587065321608a^{2} - 131004944009969014273795655160a - 549642107462968331972398537144 )x^{22} + (15865921376693669583908576176a^{2} - 413797021235282033707543946240a - 503291419909571507543320113952 )x^{21} + (570378470447087116355272133072a^{2} + 360836973139976787062736671000a - 156130536100216415051244287904 )x^{20} + (240568083148377686511033298208a^{2} + 100506964252963997869966303200a + 609521555201778399755438195104 )x^{19} + (-192894373636607926727720205800a^{2} - 336104900868663986269945848176a + 193282231707300164064603364528 )x^{18} + (406362557851363448442656455536a^{2} - 279991742456301433937329567440a + 210978627163929462968566186064 )x^{17} + (-114976596734034286165551037756a^{2} + 245757165110754874002910209000a + 378892076539342715346929468708 )x^{16} + (-29274247502791801399613482048a^{2} - 172818130301950210048523196608a - 442011146184956886314709071840 )x^{15} + (43826555527797477063035696136a^{2} - 441993224662882320265704886352a - 480915297761745295150505377184 )x^{14} + (8716637267033059176899221632a^{2} - 230037967002831398812043801536a - 424802849818911120331496075552 )x^{13} + (-541029132874636452748122953656a^{2} + 490474981314644638421025660904a - 160340309206796323891830829200 )x^{12} + (-294091647523259624308832121536a^{2} - 593965154919284211958002561344a - 222166498917847970961046737088 )x^{11} + (-283538465837422190005564810552a^{2} + 277352440922900554959893315256a + 79499305596063645116891605936 )x^{10} + (407442293542351327238671228720a^{2} - 31454015315898529556255420480a - 369462019781176354395445040256 )x^{9} + (-383969970268680425866102778512a^{2} - 235082289478780113044806830300a + 554499458119408589549903313588 )x^{8} + (-190472858723965942897080820832a^{2} + 579658912661115774882325684064a - 312261494439574921014856811040 )x^{7} + (420289221976616793773862601536a^{2} + 511476837063222632935544383584a + 628530718561894076264335014832 )x^{6} + (-46280464956695487794481993088a^{2} + 332336185664654357093192829920a - 375636488853996148900930342368 )x^{5} + (127228190144961268540438695576a^{2} - 438870153708692999293591027288a + 19679125968497145143265648456 )x^{4} + (216631424032395798683741951968a^{2} + 632257673949157693868899137568a + 6708581744743260107108533216 )x^{3} + (-252196757994586502352751557648a^{2} + 40994594406449286827622962288a - 138630381191482605050158803872 )x^{2} + (-509854625654975637210089129824a^{2} + 548105184686320209278249781792a - 56303523106667090909587453568 )x - 294376340396790002072492093008a^{2} + 19557994294916721171336258656a - 110485603900028733170192477572 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary