← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (-436886046682045647688762429168a^{2} - 39277771890580982355927917776a - 445953674926493586944921500768 )x^{46} + (392473078736273277680299091680a^{2} - 247370000894442891015454421072a - 189640864376959615542348767072 )x^{45} + (-18736361360284758382974606360a^{2} - 380329752225398521787676090492a + 171064791398188368138984113524 )x^{44} + (313317033271925623154965720432a^{2} + 594826983557616652593625158704a + 604061031862965292777546828920 )x^{43} + (-27828438141748115959599312184a^{2} - 377653036828438219291950770216a - 567373990266476205739808913940 )x^{42} + (-71932292394667771754398315800a^{2} + 283848766952665878993461953480a - 546200726138583942002487095368 )x^{41} + (289119325681648451621255862368a^{2} - 290091718213905984577292307452a - 416411409516917691819536849944 )x^{40} + (-371107593820648752069088156432a^{2} + 567904619145996067669786720528a - 117509186182295946765653438144 )x^{39} + (-529641655266680913162972122600a^{2} + 409802510709383526183661883920a + 410522717110259086803880701772 )x^{38} + (-206614747481267809729421516048a^{2} - 495172271288287525366400984472a - 389617539348071701262297717752 )x^{37} + (253903141399217400880799932312a^{2} - 315613892621593460540593855192a + 98588933621202745012166969536 )x^{36} + (42274008546296313595313903328a^{2} + 33268686722028090169369529200a - 86253186283520179378714917856 )x^{35} + (613752764028934065019438277228a^{2} + 497941373058643900985800122156a - 83261067840944817797275053200 )x^{34} + (-200736462491105242240080384216a^{2} + 616842143576877508222910207848a - 89807972541263951708432499824 )x^{33} + (235087286712119588095976224686a^{2} - 303377940123130272921570793970a - 139997857011502888616741237216 )x^{32} + (585520222733395212291779444480a^{2} - 401368752684154072308999553376a + 583320279260216811706999745184 )x^{31} + (-397922244874556503036284558392a^{2} + 215763853589417420619262762264a + 467562320677652118889611783808 )x^{30} + (-317168958036202074658562810840a^{2} - 486228644056409660828120401016a - 588101455037648567094289359328 )x^{29} + (425586206574696449479078324664a^{2} + 138460031439130132373931726812a + 383227879884632811146801921256 )x^{28} + (258468589627367130921686446416a^{2} + 163132050387220839627719324016a + 356976724302701852437859177216 )x^{27} + (228665310589249383502803872296a^{2} - 579849586237328621276584961872a + 490437561541431547230065980424 )x^{26} + (43679908031133156516678117936a^{2} - 10024630849443706669702459512a + 394214102457787100916594698112 )x^{25} + (-425854986319511702805179917532a^{2} - 335876334965830587442113736968a + 589234686684390935293686503772 )x^{24} + (406868360947023390817243711136a^{2} - 85125777180088820971406765184a + 295376097843494292714611358784 )x^{23} + (601975404259413919808659847776a^{2} - 366632299731949435717268300144a - 260862172374798706023916337920 )x^{22} + (-347793683413156610979212662464a^{2} - 227766163648224361719790928880a + 115080439704199873920153607344 )x^{21} + (-339065234334520347260807851104a^{2} - 182334166527186246366882568856a - 630845858388060841510632325664 )x^{20} + (363058893947280970086746737104a^{2} + 485945960110739239247788643376a - 33247837481636233119530569104 )x^{19} + (-191686111387894064758915959576a^{2} + 135007220623475364321459149184a + 43357706570971239098608786360 )x^{18} + (-16260188801511283282551693136a^{2} - 176999352538162953546681300288a - 15115973996344786152609345744 )x^{17} + (166647099259613941737830098608a^{2} - 295638683692331389129479717716a + 14232854794446913789629785152 )x^{16} + (-375928005717208923099390055296a^{2} + 115989411770177431183274744928a + 555517168457155883706302700640 )x^{15} + (-345377412453784746822283799792a^{2} + 122977155089305675746978052176a + 521697724806170659983968244496 )x^{14} + (-124160642500748627173211190912a^{2} + 312813052059865543437069703568a + 318153154119395826983332654208 )x^{13} + (-469828750330962423944859089432a^{2} - 297613012373997243728011794808a + 317641860044891712570109060968 )x^{12} + (-611833914631476426262771203200a^{2} - 154217732641657092924869794880a - 174431893184877993427622792448 )x^{11} + (-435321181765547862429464043704a^{2} - 501678423536817003399751579168a - 619660940590788216320502105184 )x^{10} + (-74222277269447219395086359168a^{2} + 511504345293004316012561069968a - 29284441658807385970186601488 )x^{9} + (449559013269556601440900585412a^{2} - 348238348619474532699469793944a + 131878428357214590154755355064 )x^{8} + (198382527301891084239482683328a^{2} - 334085818102224015582403610240a + 442160770597099747347478738688 )x^{7} + (299837958445848141796784698336a^{2} - 64532519775383672871824349664a - 593979491172190057464369781792 )x^{6} + (288489069488325464636528099712a^{2} + 193717035152036620346437605792a - 28958379634277807125449387136 )x^{5} + (-79380327648910196153099018584a^{2} + 505276774063552972227192501792a + 295607041601950176818096819176 )x^{4} + (504226258210680885223399988480a^{2} - 490548769602203942892834390912a + 466316835770367086921478556160 )x^{3} + (440875729919229386891616133760a^{2} - 181233566996555590120142326592a + 383007937419317451511148609296 )x^{2} + (-119894550495142343015245206480a^{2} + 433480572693213486984615026752a + 330566271485694087783597035088 )x - 269053341833153767412636960512a^{2} - 404133607924542429118718771620a - 131647439894917588010107216460 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary