← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (551351796759390832587304036280a^{2} - 352620347707880603222554398080a - 114497734323201044000540266264 )x^{46} + (108231234227336245269799916512a^{2} + 447843728935656113470779019232a + 594768158591764537316333600032 )x^{45} + (-462895104762389017095602533448a^{2} + 80574947519654985445772544532a + 274966418870091419987232193988 )x^{44} + (190274111431939827610564232288a^{2} + 362853722042591753069191687440a - 154692642053741052433967135320 )x^{43} + (202629598327226466403309040888a^{2} + 543183904548123270438117823872a + 158694194238384446379199745420 )x^{42} + (-30878423627667594594944306344a^{2} + 161690256244188449255160180240a - 369199492647057209611214213600 )x^{41} + (67695397073378676927065484032a^{2} - 461918456856872006148992604260a - 244263927983196000440648380696 )x^{40} + (81923872341347607573757116400a^{2} + 192258617911436782584737352624a + 530451043978561940123379435744 )x^{39} + (-52271688064582955474890854968a^{2} + 580298130521158009400165822736a - 407987048944696117383810154740 )x^{38} + (-367907183046171632310165532080a^{2} + 58819624720357648001148139384a - 194634715690836665430810301944 )x^{37} + (22964639886066050054937648272a^{2} - 577190038647556385670343626832a - 513198618765777792236970248120 )x^{36} + (-598765660427951274476558516000a^{2} - 333765683607380397096661070288a - 365230288908936178291741327488 )x^{35} + (-27609371435760198410871090692a^{2} + 568443086695518217685548223148a - 75900755506875811008905760472 )x^{34} + (200887997818488943505493507768a^{2} + 178387617724988618848357747832a + 20125257885578312690992073040 )x^{33} + (167973980180044316052764045246a^{2} + 406429413926494724486187997694a + 32863208337548677197706356140 )x^{32} + (262977430003409156387651196800a^{2} + 32684230372793776640581696288a + 360993672299322804455623270304 )x^{31} + (-589016468126736117473771910056a^{2} - 135361449744709470737821179864a + 596577175472630038098338199792 )x^{30} + (336474023118047171873870244808a^{2} - 110759200694183554434588728664a + 577874687921918235804949230528 )x^{29} + (540137128692353396357160712296a^{2} - 10435701210935506542938749988a - 193584052259859971827447219152 )x^{28} + (-104633576943059017560923650320a^{2} + 555354717448852044469889528912a - 520637027731054226157907827936 )x^{27} + (-297892588948313609708321222008a^{2} - 455413356975950359007670909856a - 488473398679565313054368628168 )x^{26} + (-347501071854539421131186602192a^{2} + 118049219716606114921579197544a + 400544817807248888906299160000 )x^{25} + (443751220296442989412909144564a^{2} + 549931985885844099483641612232a + 353963574478635036075584537212 )x^{24} + (-80957843947012235275026090880a^{2} - 214828675058486504157361309728a + 177587724601682387000744442112 )x^{23} + (264594407595847771535987097744a^{2} + 627155935234559024455962334192a - 593274373246899328189912120256 )x^{22} + (-353489688111013660606670911648a^{2} + 588088977679531884405130883152a - 463735826897890601173640431856 )x^{21} + (65418011071271178405228116960a^{2} - 37798543401136474711220378568a + 576139916322553011859068543184 )x^{20} + (-589655806408723120357649572944a^{2} + 34555507681739087077989150576a + 605775073784676714435735845040 )x^{19} + (403201983902879700815593849400a^{2} - 61432363723780397934770280288a + 577316968266123052196847901768 )x^{18} + (620477616684337210972634104368a^{2} + 11662807118757229455167715104a + 356808647891744641370647073648 )x^{17} + (506975284353453509766466218768a^{2} + 366502339167209117348188055484a - 626076101465830142031809864272 )x^{16} + (-289875007950504038128795944128a^{2} - 438126738928140244218956116448a + 418160288594932148208803899232 )x^{15} + (373890449169059277858252364400a^{2} + 45334967900954177584288610096a + 108450506735218910242546904624 )x^{14} + (-112306303130641472230333264288a^{2} + 25293315692672236266610292816a - 112999820503823767321469432192 )x^{13} + (-602320661547353120835680694856a^{2} + 177675272411538924706841149624a + 633284060557700995956569685464 )x^{12} + (133894788116182099959517456320a^{2} + 158507825480818049723806282304a - 264549701645021361163142483392 )x^{11} + (-6697881559875917934732763608a^{2} - 49749576493850009935868526560a + 460758824827211296898296950368 )x^{10} + (-567064143371089967138985732128a^{2} - 155963207044161027095008215760a - 357388471389502605977273462672 )x^{9} + (-87811942232892033807218202220a^{2} - 318474852968395901675576994424a - 44266445756767701358979501464 )x^{8} + (258512618021071903417458470208a^{2} - 339387427190878626767009547456a + 337051590635534985773060683520 )x^{7} + (-45094329364765490754138247616a^{2} + 220910810202579868191716347552a - 274881645710423511680873233728 )x^{6} + (427278754144876814933682596896a^{2} - 235621090965767508594747103808a + 433638730411765574441368809696 )x^{5} + (-121182800010435083656136386744a^{2} + 326124273093529257917665595024a - 108313180034948981073050465160 )x^{4} + (-496761854880514090673903913280a^{2} + 495907879082615313126093724096a + 280373717321358732070709608448 )x^{3} + (-374449723640172089945335808400a^{2} - 343673471663693108123025955840a + 620670680883030261416771166320 )x^{2} + (-314899044652955631082715141296a^{2} + 300195382397172674655941659392a - 2903061869001345790179020592 )x - 489648657851550458262536189664a^{2} - 378395340715332938962847333700a + 611044478602104814635197361972 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary