← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (92297140788715159510834786296a^{2} - 202342103057747233934297665928a + 524345679448296175075402330928 )x^{46} + (39411557103281863586842900848a^{2} - 309562114718938661864955902672a + 609618977674890552349112757968 )x^{45} + (469031720215770073942677261224a^{2} - 358023689239936149504363200972a - 499843513866198817461644563140 )x^{44} + (-482866089524163873545569557824a^{2} - 310945086785931114863475178240a - 442053562509201962238304890536 )x^{43} + (-451678342999354287921575754136a^{2} - 304402834666270923611230735792a - 105063817042342334356771449908 )x^{42} + (-544006405160689328323809833728a^{2} - 624639054137173264319580456680a + 105305296880547297309413564288 )x^{41} + (-217925937767361231471054518980a^{2} + 410554230012162145922656928020a + 387844407345171899512545086064 )x^{40} + (523887972660653259253412292912a^{2} + 219283780880219324639693292112a + 216604920625616677569039218848 )x^{39} + (-344892008081035550348498734424a^{2} + 482101247929543842220758265792a + 541607977385786278251245245100 )x^{38} + (-461321083188877520710652472176a^{2} + 175161852825629964864111459176a + 555308437592162699332129820536 )x^{37} + (-86805736005394096984155322024a^{2} + 625983788130968494675573689040a - 327886581830872313419663649216 )x^{36} + (561060686591169101004100705568a^{2} + 594322348270142533920639479504a - 294067822795819617995771487808 )x^{35} + (-448408281418766127845709551996a^{2} + 258823463657262636419507923084a - 31902603690127475825028078280 )x^{34} + (538157021708499975909009544136a^{2} - 249770291710872434965826729096a - 497420058370561304833825403088 )x^{33} + (-104303326894208985417391737790a^{2} - 94895992027284272870296446442a - 365079493601355331984839152940 )x^{32} + (277659824771716761150883229184a^{2} - 359753284690988237381819494624a + 627129618641276880622067198464 )x^{31} + (615774386718131268168470113432a^{2} + 255251799932218526192916375784a - 442132159210696833170378864944 )x^{30} + (-326019751254472759756641439224a^{2} - 437237065606316640898789719352a - 68624723062521973881204086240 )x^{29} + (-458759264043299741911637651720a^{2} - 556966096360742604180253013836a + 45414335871512984868119796368 )x^{28} + (179365197281719873338767414608a^{2} + 505822150907969216702865918032a - 136139695037910759112231466080 )x^{27} + (-274509149705620712930062324472a^{2} + 235903008868540381949062949872a - 257659788522287694533774322472 )x^{26} + (-129839972799797098614597919984a^{2} - 142601853105999466295691867832a - 238923730878497125248651576416 )x^{25} + (-630214295734431263609318270252a^{2} - 414260473056117932488863063528a - 529857466020874586355176651628 )x^{24} + (391329905581473842420453016416a^{2} - 95143183329319936387449623648a + 397369568781732055415183148192 )x^{23} + (219014420334540394797985024608a^{2} + 247858457663923230004190769600a + 268996341269485077853170326080 )x^{22} + (-561239606241240266573471559264a^{2} - 141394482152292616238355527184a + 51431745185601544090105666864 )x^{21} + (-360612665612900934141992209328a^{2} + 129765172361431501861393599120a - 348217271509994734930907732136 )x^{20} + (-78916788437199916447413336400a^{2} + 629692151196689978646685723632a - 511850688489321256675151070320 )x^{19} + (-491220264145871885870555561432a^{2} - 363803426637114202842303325296a - 62981147551090903540848070056 )x^{18} + (-389765244459929342913868704016a^{2} + 70383233797904393141547929152a - 474589272164871098836035729040 )x^{17} + (560200518935558397929219942688a^{2} + 96800639221123086501143767132a + 76721271832528226760495913352 )x^{16} + (-54999539114072133447279288512a^{2} - 535430118163222302077604415904a + 162512063905515872001545481760 )x^{15} + (-191214388870748536287026943728a^{2} + 419563181482255515011460330608a + 578063809853217672273240994896 )x^{14} + (375568918771598204368426185440a^{2} + 423254638788473514599436554544a - 440539564817166933668832886208 )x^{13} + (233620254216520684360552671736a^{2} - 292281568441648144923260061624a + 464232414482108566990899914088 )x^{12} + (21025773422466945364539545856a^{2} + 196051944136402083808381134848a + 75961089876135428040576638112 )x^{11} + (-97080125195993584753527021048a^{2} - 12125560243805287529731993760a + 351421706116684293406456338944 )x^{10} + (-584881832263239907262706337536a^{2} + 556020262684101903131520170576a - 468810069525972265670790715984 )x^{9} + (477191153051186513159916865956a^{2} + 619240674491438777344339434392a - 596795943396953582889958773128 )x^{8} + (-395958982820596363135891812224a^{2} + 260268169323379525619682729408a - 98151792765880268862194192832 )x^{7} + (-603933645266532199285766587328a^{2} + 119852520462584185013232617632a + 158817366281720395405123241952 )x^{6} + (1001905782229032338557255712a^{2} - 250147401696555804841141291520a + 333162723274603091811876429888 )x^{5} + (228382245234932677754603459400a^{2} + 611153873417605466267505338464a - 87421666947830026197886297560 )x^{4} + (-333219659232814540426479626688a^{2} + 583445505911737515846460765504a + 431231801574511515917241765696 )x^{3} + (-332763671292527165024125390288a^{2} - 563230883690031325362199999376a - 29200278556474814020132314688 )x^{2} + (-35126998592968221373635500240a^{2} + 479183847479347303076962959840a - 488854160357635269798921429040 )x + 86985804315294077110455091104a^{2} + 308620564617543505283286183308a - 459185023460389840282716333580 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary