← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (-67979010776912820598641771920a^{2} + 527367662220762243434169660696a + 97491340093611329207177902872 )x^{46} + (-374449870969875162133655064176a^{2} - 116081077555868239398003620128a + 615163613933417854063378036272 )x^{45} + (-5448680688115461483768804808a^{2} + 557611349627054012784656003908a + 435591450342074901909655673676 )x^{44} + (-497045662181777327343999150192a^{2} - 16864673194893234774369027392a + 271177193486822619339114086088 )x^{43} + (473196550847389222121874888168a^{2} - 521136223206553166272157527512a - 261772132064702999673290100564 )x^{42} + (156787867779068754725645631760a^{2} - 586422340063837843729882384656a + 218835556032650460709148158856 )x^{41} + (11694631744772566423521933500a^{2} - 602121849987713173331998266444a - 368166342570222968907935413824 )x^{40} + (-182358206995012292650657608016a^{2} - 359354575036652822270325291664a - 577129176755071797152197898240 )x^{39} + (-65810882511879888210843830312a^{2} + 617411251752634329826723308608a - 396189134952515848966101532724 )x^{38} + (-139694626241759051735360150512a^{2} + 633689003966285787670142635448a + 55903020008826317845573789304 )x^{37} + (33179510614407059974404913728a^{2} - 502612408852856184442431247384a - 211261398307637505135409197384 )x^{36} + (166559957289879969663594277952a^{2} + 127617604685120880730372677360a + 411377539596941647534374004864 )x^{35} + (-547764120206820893150016945884a^{2} + 381543403382741347896376860940a + 313704882828566241240450870544 )x^{34} + (632753413015310614735961175416a^{2} + 419372244033172196043013841672a + 418468573589701495134862912240 )x^{33} + (125213343923206822153651923178a^{2} + 54229006726638001111819216702a + 442641863838714889843285978040 )x^{32} + (-393416356985962284151518370816a^{2} + 499185273123205219058022759200a - 104496138037031369319068558080 )x^{31} + (-461764669189684261766262780632a^{2} + 27739415540254901883206360696a + 440941636386718669299188173248 )x^{30} + (-386709153151810214039149954200a^{2} + 139342629348870094379602434408a - 575792166253324273876308360000 )x^{29} + (-78855878105426969659374804584a^{2} - 540826204631625395079000165564a - 466802646057913005604621377976 )x^{28} + (55220745062059097464549803504a^{2} + 554482081193041464136590528752a + 550901393029277132857076768384 )x^{27} + (-343385723464249351923672924216a^{2} + 170569544790184615248973066912a + 287024868368261285275580938600 )x^{26} + (-224857779952947077631633463760a^{2} + 460086260980491290508321705320a + 168037521523589004954628022144 )x^{25} + (501815156628987155933069618388a^{2} - 52459679540396110490405371384a - 389621272064648443504691551132 )x^{24} + (97719121854494241962300290048a^{2} + 306178339095692154312002528640a + 249625421309316531446958708192 )x^{23} + (405098954809184098679255134768a^{2} + 156122801485757158044111047232a + 593653077856953755600240327072 )x^{22} + (468852255378962681827559042176a^{2} - 4987479713246415283152153232a + 585801520210174055657648339024 )x^{21} + (507960547412723998387235153200a^{2} - 405407078050458933825537045568a + 536325007067737259861282240904 )x^{20} + (20536278211932217548234574992a^{2} + 438208524502513753225664901360a - 16982956524718970885317646704 )x^{19} + (-117745233860947006380096407496a^{2} + 410481836968494082202388558448a - 354447418386325534333430791576 )x^{18} + (-276261040586472228488015844560a^{2} + 472551762081797594556885493312a - 343133043586264989396553041744 )x^{17} + (-126343494820336251316579962160a^{2} + 283341482068172879974375251068a - 460813378315024619312306255304 )x^{16} + (-548733920250393794147703308032a^{2} + 323133863001880814246881148704a + 339241928707082602682024596000 )x^{15} + (268895697525611481497274023024a^{2} + 239610378526381956594791448720a - 616179083218054163845503584080 )x^{14} + (-19497712625176802921916846464a^{2} - 65468058354837712892294560528a - 94072622112883681814436382016 )x^{13} + (381326851623450444911415941032a^{2} - 10805381191397473769677518088a + 308973107081759813223417207480 )x^{12} + (141473178827281339916279223104a^{2} - 20521521758271125298222146944a - 169851742647832730589451168032 )x^{11} + (434034247138118760099313355048a^{2} - 136686688334323138109789226048a + 599832419787024676713619075552 )x^{10} + (-320624589437055251364860559136a^{2} - 39004309878816409294023925200a + 61443618101231016976219071728 )x^{9} + (-274840081199511110362234805356a^{2} - 256356084942138796589552087752a + 3147217501601910726848621992 )x^{8} + (-479920787934196589423882616960a^{2} - 421590125016609614231806840704a - 417396279590044619408751152576 )x^{7} + (451682117123118090509953055392a^{2} + 47895417346036045685344625824a + 347245553774928967655787671616 )x^{6} + (62464034497689162505015144256a^{2} + 79899422256946409118806967008a - 531916697450400284405010332512 )x^{5} + (269638345474009886525688953736a^{2} - 232288607493447419667519879920a - 275811147575337119043962261544 )x^{4} + (-452783598730161194273328695936a^{2} - 528955642671612495116391967104a - 430465776411612138540695953088 )x^{3} + (-18424780265155877847919914976a^{2} - 34227111981049170535454740880a + 609864588970504158281997199488 )x^{2} + (-246586061014510117887489492400a^{2} + 253637620333219600889365383200a - 442169500506146514766609961968 )x + 228466066227171806245082829408a^{2} + 425251963323457881877235318700a - 95829851837680969020744218252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary