← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (391862362663317725653058448652a^{2} - 196178185718286333207834465124a + 547211240713202982252868368012 )x^{46} + (-339870920008251923438504479776a^{2} + 103253002938741092353290297496a - 160493146532569774179392878736 )x^{45} + (323039929930890917505635873696a^{2} + 470539917986356340111870138940a + 588954813714031480337994210948 )x^{44} + (397837702972402393862695810352a^{2} + 344890105965181784537563769680a - 613728831941689726781767663664 )x^{43} + (-446497468327159677925449266796a^{2} - 242046230230533115053306821568a - 266071683795999794657899754228 )x^{42} + (-425171483677064389445622658128a^{2} - 37669156567302764479223582312a + 55143393614279962608727079552 )x^{41} + (-262838116338619438673835882684a^{2} + 630284503728046921695826365184a - 514853618138693068987203497808 )x^{40} + (186172673784670204567893700544a^{2} + 14980304388935322181418695680a + 441225216489855780626846545408 )x^{39} + (425315610465563132484617573176a^{2} - 391106615717632146270376938240a + 343107327309027481971037221264 )x^{38} + (-633750895713648121887757997776a^{2} + 588492459976917481283386569888a - 524448231052978976547353710336 )x^{37} + (612910322954530132564418531764a^{2} - 406496549815398146627001024760a + 584338590387580708681289247376 )x^{36} + (-594919019436814401733779829184a^{2} + 175431903272945288594259336224a - 18348669679192062649732806432 )x^{35} + (-610708218379620316104963742100a^{2} + 512196236143915852653927496516a - 443990805250365874695479774408 )x^{34} + (443266814599723214482179805784a^{2} - 491850942849496007541865754320a - 115672522730340260371375487216 )x^{33} + (-255780840342266648064554018524a^{2} - 526973274274606676089624919078a - 348860861204815666345921152066 )x^{32} + (227740253374803137692689463232a^{2} - 53856366577305228599649346992a - 245230022097714870179979283968 )x^{31} + (-208975296843432643776436236152a^{2} - 291134290381326566906159488824a + 549283340648067047290496328480 )x^{30} + (477500335100108375987010295992a^{2} + 282076691571738019615943030024a - 514714682617185074271039888584 )x^{29} + (-388087876022267459240117441164a^{2} + 179476882043253727060340201988a + 273151215181367649857718709428 )x^{28} + (54324682201019046384352847120a^{2} - 381931985483591232302392547184a - 257700597818074787344844911184 )x^{27} + (19482666419290001596343269128a^{2} - 431449440331465926047816259704a + 38426230127230518938451312928 )x^{26} + (-162592573569148364332624311520a^{2} - 51164934940125859730469240512a - 504035243188794763119196856352 )x^{25} + (-257590214074142995753800656928a^{2} - 142107787627229222670951203480a + 563793377897154452339782433832 )x^{24} + (-193270348815973372683711618544a^{2} + 352118719620487325728181270144a + 443480624796833519122272109584 )x^{23} + (-256818989070192542177687395752a^{2} + 87842841301634452304165907112a + 519444386745068154841466848984 )x^{22} + (397669043614263846996188579024a^{2} + 161880340526353062953404794880a + 206016647965286152381578311584 )x^{21} + (156054768335506108675596776968a^{2} - 340013751509908187202324572320a - 547978592501579201683583033336 )x^{20} + (-620073620100114451389826285952a^{2} - 275308243176084714848089275168a + 74904396434683095622653970400 )x^{19} + (74705041053115739863073680376a^{2} + 309322451649210657055798053472a + 149310398777921611116408658416 )x^{18} + (383094600872338765725567145072a^{2} - 323237325232661682312240434832a - 58215316576658520916881353008 )x^{17} + (-421231802377198440722810491724a^{2} - 78634114636202092365734796712a - 36316674432737266227686617220 )x^{16} + (120570323398993562082545302272a^{2} - 528994530727598417581495273152a - 263914066719834804599968962656 )x^{15} + (-545609611018149327891963124056a^{2} + 190729433786228601852898372752a + 623344534332873684925329810368 )x^{14} + (522367493188586243427297511584a^{2} - 175944722525988467888176840480a + 156702410854193016880861084800 )x^{13} + (6696879271742899220140091928a^{2} - 75172816941722957206112105960a + 583074919715991391326567699040 )x^{12} + (120814044085462592300778378048a^{2} + 380276285367906379036417872512a - 484516350250029526245874123392 )x^{11} + (590674471486077675180858531992a^{2} - 265792388042587409359424676808a - 493736516598667894850452077168 )x^{10} + (-158783775130342962085061360400a^{2} - 387471141551269124593383092736a - 157335889154384949801795218656 )x^{9} + (487727420141016625834459223568a^{2} + 27614834261504295935618900708a - 609450961580437730578248978188 )x^{8} + (407609416706660233464933828320a^{2} - 519169479810124336909587504800a + 468277155204832471353458635360 )x^{7} + (-602900751111859686255980396160a^{2} - 456681670369511275359965602560a + 304554364216452634803344857936 )x^{6} + (60764718496317324834170271072a^{2} + 102514847966996250608949078624a - 47455739859689237165126396352 )x^{5} + (-457205895023208125013851341912a^{2} + 14209413303385505583066960232a - 529214366534128119673976219032 )x^{4} + (-625239231723345305560734729120a^{2} + 331782817746593424229049737632a + 20666997450548956191755436768 )x^{3} + (160159051132564911757185171728a^{2} - 335432125778974013227930177776a + 47165677805467582854879183776 )x^{2} + (254778220134007552080905693344a^{2} - 202084011258986741294405482848a + 124024393323201332358662572608 )x - 14280624046788658830281416208a^{2} + 4149839389120380845669661008a - 263729378492835776485444181076 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary