← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (116012604845410855484364402820a^{2} + 523934447684649771401280370148a + 66739095557121695975036700516 )x^{46} + (-133339534527261411712656534256a^{2} - 241956900774710022338961871288a - 530902668359510883134360829456 )x^{45} + (347922052305187927057757913472a^{2} + 103715147260683810597222247812a + 262347547944464604631318034156 )x^{44} + (-220390468339382323099349706464a^{2} - 504384794207787174701436348208a - 386425280208367184371001886688 )x^{43} + (-590645749419696862010673051508a^{2} - 42582635281616186261873164200a + 291245719906278169038111866572 )x^{42} + (-15614853043688122943856377296a^{2} - 591194937902726464083325568624a + 308092580265114283116862699528 )x^{41} + (377389981808954835168451968652a^{2} + 433144177083952764701748289712a + 549682397924917380207664158120 )x^{40} + (-167047202586367383995057761056a^{2} + 632512274062598309543038704544a - 272674198414036843898321219456 )x^{39} + (477370599854503610240778552704a^{2} + 601943424114127595277869508600a + 158827743210438834697362452488 )x^{38} + (41496261745051035542025912144a^{2} - 266955140258295687413338865920a + 325177117705054445646593416576 )x^{37} + (528277399992048759408956230644a^{2} - 80709712501759179452035948096a + 335284020588891601211975446032 )x^{36} + (-169897419716999064223223948192a^{2} - 581197433130880196157566695104a - 332207277640332503914933839808 )x^{35} + (106753641759903956945535603500a^{2} - 555112456281262104428596977428a - 31679434100647560291051040632 )x^{34} + (131494976793950092547752110664a^{2} + 211294488294315703555462425616a - 200005430074337372551343994768 )x^{33} + (47967276761880237157524599664a^{2} - 410051505403274244510032940854a + 241806942888183055856301114370 )x^{32} + (153217824772095848451995138624a^{2} + 570265343728419350998430230864a + 304896461303471821792629683136 )x^{31} + (-35433030216484255836760390728a^{2} - 79404450819329520299833061656a + 533899461545942344879242408240 )x^{30} + (632596991122270297408346907160a^{2} + 392851885123753857589119862792a - 309302737366203885576258522760 )x^{29} + (-397081026052795388432173818388a^{2} + 209969877944328539292520983196a + 202473963057169341319153972212 )x^{28} + (364865183345002300751826816880a^{2} - 453043635058539796347713719568a + 426748389398328723350743445392 )x^{27} + (-320595783055752654524418665768a^{2} + 545802062649335960962570466360a + 338873342383657880363661151160 )x^{26} + (156944216454336093243248689408a^{2} - 135011950474719626278562582016a - 507000087696903862716270524416 )x^{25} + (293873454935954146262360564616a^{2} - 605866828839672828178858568024a + 524198292468658360379188453008 )x^{24} + (275633655391275291953165481936a^{2} + 442154854004822466407480913920a + 8148717315468467387568884560 )x^{23} + (541504188580418127344942605976a^{2} - 333048175469557587688525139768a - 54838733083588123433671025432 )x^{22} + (275982046248432877553639462608a^{2} + 318047365283547101887542969536a + 435954401253288618164523273728 )x^{21} + (75663430261053213949515061096a^{2} + 617570523923264092386050200048a + 171122232628531214424486654328 )x^{20} + (-110613514530097287988116517312a^{2} - 348467108625472084247361635136a - 249712431299579592009257399936 )x^{19} + (354965940343780903813385118168a^{2} - 167383119281253861566426519872a + 114486893800336077735860988672 )x^{18} + (-370803389626807969318054415344a^{2} - 211623867669968820988761590640a - 364763141832377135933983947344 )x^{17} + (-43627958545779364107299433948a^{2} - 24592929592101468012033417800a + 215046919871982018458189273916 )x^{16} + (281050782387152615638361394496a^{2} + 516455131538990171469438514560a - 328424318719721861562800463968 )x^{15} + (-575750892898411930594681446072a^{2} - 511387819327125429933245668816a - 332950395809081929264552783168 )x^{14} + (-367006489784207484569149883008a^{2} + 471178180945037158749441763136a + 440639610243582515169259776224 )x^{13} + (409128464240938034105273331000a^{2} - 445379102366980169120973245560a - 256030598601322741047470684256 )x^{12} + (-337314167909441555014843395776a^{2} - 263821753709657934175411401984a - 565274137693227645667597333440 )x^{11} + (-37366096597823664650390006344a^{2} - 347558254438697916170877685656a + 182034104971369351296718241696 )x^{10} + (-371215279791952455353175532720a^{2} - 185450783527306987047214964576a + 364396984692192586371699235136 )x^{9} + (-168110611967822415669405547040a^{2} - 117698837669072144231700574940a - 408000534444304021595709625468 )x^{8} + (158293664432716137450234555040a^{2} - 54380322415235661771655275744a - 59716797619898153577373694880 )x^{7} + (389072705707092737803280472000a^{2} - 440839363257947026203531683072a - 125229124044640094064541337968 )x^{6} + (25783282499281474290908968992a^{2} - 311729055592940220055826678016a - 293824001326799020418400431168 )x^{5} + (113617184544772645123094827832a^{2} + 355200235279331424254258608872a + 352639114642594026637817813320 )x^{4} + (-295664422078943744151956361120a^{2} + 143285199084739003692826781856a + 193872940524523953800774107680 )x^{3} + (-39086645811313050013546942288a^{2} - 458426002977750633479116713552a - 121413207686299233346010515424 )x^{2} + (478320564532775678105186230944a^{2} - 310358105256127900842428176736a - 206033797495427456976526799552 )x + 50404993509730163582348686256a^{2} + 604064724427747259671975520576a - 579266005094031515891603490276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary