← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (-212980483323389959731509437716a^{2} + 557916606990911748184924337844a + 275819512453908611540689062132 )x^{46} + (-258054784862859997285112449616a^{2} - 142320693609136736557160280456a + 390265457377241448340889684432 )x^{45} + (121101747625251481620126434736a^{2} - 390529974402481459037044660180a + 575737567373350867281954917644 )x^{44} + (237242457931694952089656324768a^{2} + 317979017824261527618805932272a - 505701384392995573706155610000 )x^{43} + (-624565325574678550928335329756a^{2} - 221255703585695789238096254368a + 5603842430150613276351272140 )x^{42} + (178135123859407636903116885976a^{2} - 633468102522471813315255624632a - 390529825070787373739709841848 )x^{41} + (615680609108537666974900676656a^{2} - 327618353170471573435964726380a + 598336104981760908399971594796 )x^{40} + (403402288739231829000400524480a^{2} + 617607579946523723797810412032a - 491669629071331245231568395488 )x^{39} + (-48057480244548105591457237328a^{2} + 356832004858382171552724284520a - 357219455907222697419147135824 )x^{38} + (-572162767933287601136552544640a^{2} + 455552868858533880598008919664a + 621646038445070588798866847024 )x^{37} + (301440688699105109579044300420a^{2} - 559020011522951297972175736264a - 493090388130442289354903489984 )x^{36} + (263236375567433852531949068880a^{2} + 350597821652232099263045151264a + 370684964036709307915518882576 )x^{35} + (-267165518965751942103875923716a^{2} + 239048424435190344551738241780a + 311909539770987388082690320392 )x^{34} + (277361659567799389631889575416a^{2} - 257088685685997582991795190416a + 601643944758572968868768039600 )x^{33} + (103913849628663321321737164256a^{2} + 355009872306759842350599945910a - 482103554714983359363856688942 )x^{32} + (-582284234731122825014765980736a^{2} + 584833793685716459414484040784a - 341707509855259079627204325440 )x^{31} + (-19373176675531512548347255000a^{2} - 269888799911915246779239455800a - 540302345687571967374931042800 )x^{30} + (87152787062941344075126819448a^{2} - 195163832481228116804487048088a - 278345380018393609250541283848 )x^{29} + (-316942218227996549650640489924a^{2} + 218092329169844477466427578116a - 48538531508202407091631433852 )x^{28} + (58966910082631164671320082256a^{2} - 477504189337099372796132741008a - 42842585393764582007929213264 )x^{27} + (-386927209004742634705253966792a^{2} - 328529739187315054755573318768a - 532486444350393826769330873192 )x^{26} + (529597844857056634734777135648a^{2} + 329800221601567511452143673824a - 176664842942335245727393313504 )x^{25} + (194339850171906725957104453560a^{2} + 378585955510605627305141567584a - 225252707916680996893801658728 )x^{24} + (-7477519292495533087382288304a^{2} - 597727399689803742232607821568a - 322445601785271879444407223216 )x^{23} + (475502971869842389998564234856a^{2} - 565257553393312276922008724632a - 272972655645972717570569285560 )x^{22} + (-512066600610147082290766788112a^{2} - 13815828712452320153725377824a + 62190272033102921108314230944 )x^{21} + (69428186379651223046563687208a^{2} - 49883451229291746453567353144a - 195936790562500740680899217728 )x^{20} + (-336413081122613428689025564000a^{2} - 460358694729494869705263338208a + 264835065442630851903102415616 )x^{19} + (-278902358636588212660928438232a^{2} - 473758375453556708062641120528a + 427232612686891601495964818432 )x^{18} + (-286141002157093387277577711248a^{2} - 563477853163574801016765804176a - 212625545548854276808743684208 )x^{17} + (-204872785170054855354348844900a^{2} - 375431627959773148697716495984a + 156692598672085927999726196308 )x^{16} + (52020353534125785057116751232a^{2} + 85583350696966813500000784000a - 329444196384398876989071902240 )x^{15} + (-435498381533754414863718974648a^{2} + 228430475210443891039943744400a - 558902080375516792782513641856 )x^{14} + (-167694043502368359245243361984a^{2} + 317123766702758789781700856800a + 575289073903389507943647877056 )x^{13} + (628029814883377644921300940184a^{2} + 390872713327857075118679976584a + 422170651217525717837131972784 )x^{12} + (227669665639343137918385141760a^{2} + 30551026443479993324529630272a - 404807891785975961553004307712 )x^{11} + (422273798275640747164785924680a^{2} + 335634928583453518830367761688a + 486525530790016727088962124992 )x^{10} + (-529576453170284884017236319440a^{2} + 202837224958749946447076519232a + 502482352468424415329382357888 )x^{9} + (95392478090343167530402217840a^{2} - 80759884566229186541465447084a - 539028713509447301436287331932 )x^{8} + (-19412307309754011395293446688a^{2} + 230958773892518770292851635360a + 233770718007207080653210655520 )x^{7} + (-44202209747096408545101586624a^{2} + 190255037825900222007195650752a + 407568934997996839144558359568 )x^{6} + (126751633490173306021385496992a^{2} + 356403812197169586046032423072a - 586313700319598465774346066464 )x^{5} + (192943085600944427985289425336a^{2} + 538120901132093811591394697288a + 21844004060804802300617546712 )x^{4} + (-355426196909951326588034423840a^{2} + 51250238713449766380767921888a - 39013488148226460328036442464 )x^{3} + (-426889551609720484949599135216a^{2} - 128235230338099673339446527888a - 454384129257701252257122050592 )x^{2} + (388418439599418619089779271328a^{2} - 342165060406501839040529510432a + 409869287123059173331421500544 )x - 501516401170650361587854482656a^{2} - 547257045718708626926680731488a - 117703599305440990948157595444 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary