← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-32204491078800922110555189072a^{2} - 166088380677721733711706685776a - 11163613736583749885879916416 )x^{47} + (158250050639942449747425661444a^{2} + 248145265274887911600643295116a - 222711388062282969314070017476 )x^{46} + (120631285155898075152090299072a^{2} + 157569564564470487456644090792a - 621767590112611194870306346224 )x^{45} + (-616255951298084321781451359920a^{2} + 552831636713994320293559962532a + 177890946529649071042842392820 )x^{44} + (493790071447998323410094441648a^{2} + 618863079304469130134586377040a + 408429348608974623520170295168 )x^{43} + (-538693064739909222263502830516a^{2} - 81609805822910457406713748808a + 344186371631713040898746098364 )x^{42} + (-213510136645320653044069273896a^{2} - 141102801161868834015898462224a + 455337769645777113691661207600 )x^{41} + (-146454014853611253535592595776a^{2} - 419362864025559336388280094708a + 280101444499564111073647366308 )x^{40} + (-217459978670871646052043101280a^{2} - 434762854948135632026818044256a + 305016341350146620052739816928 )x^{39} + (-101486115979602257926512934792a^{2} + 119457173688167057550476789840a - 347425366032540918591403097656 )x^{38} + (577677881388629351498371564192a^{2} + 245535225611050307541921793008a - 60006383406971976176332904368 )x^{37} + (-364047999222520179381725783356a^{2} - 551238227271857165047412239168a - 106210928418681574783670856144 )x^{36} + (238179602557610326811093665200a^{2} + 178078382715328276162456375616a + 630702336912010599946978687536 )x^{35} + (133627534634902023894831425420a^{2} - 436571512644928190321672065748a + 460353142813977094691767768 )x^{34} + (378812982439447232208350965960a^{2} + 440274647643324730974275960592a + 83612241242259092090866383824 )x^{33} + (453721973945293386902801800788a^{2} - 260513538700404868226737690994a + 45513465335608811375877683926 )x^{32} + (70247108935820735945946190976a^{2} + 195000757587752389605280643472a + 220113737023565497012476254528 )x^{31} + (-180606856899302065879878333096a^{2} + 486722908564507063299620579208a + 6664675062400483670982255776 )x^{30} + (147703792185264314438032578648a^{2} - 173749094751820681550657450904a + 261240694471234298690962884728 )x^{29} + (187777805256581713305842274340a^{2} - 440271704122544051819763489636a + 466583201428077050876511719684 )x^{28} + (557121366483196443592968794864a^{2} - 195931216073682362418779630960a - 614818280830921320985980820080 )x^{27} + (-356316243991375496413238258824a^{2} + 469860025566138547557680693936a - 323519686832551878870093320224 )x^{26} + (-481447632849328124217192832864a^{2} - 504397009594691893724235339040a + 179835384797405460806086008192 )x^{25} + (-480683595793615799980397313584a^{2} - 281487628218985156594849638272a + 487866876024901463862144006496 )x^{24} + (152807430458535956005777339024a^{2} + 67161375010049880109366424960a - 411012834101188968241514032240 )x^{23} + (192574154962978304074835277864a^{2} + 258156378878705043962677927688a - 408914199722887563596571600872 )x^{22} + (-474856822200672629203703419536a^{2} + 315464472564100276928172755616a + 316710230972503461357258858688 )x^{21} + (134624932088400565530044143592a^{2} - 334441605146439541852967923816a + 317651889597688190407589626288 )x^{20} + (332827214994747947247695919136a^{2} + 6627920810165671565150972608a + 5219524037891565039986455264 )x^{19} + (-84241348740487209031875402040a^{2} - 420995990049674828437322448400a - 213254061252494794120575839920 )x^{18} + (564074822901053511910415316560a^{2} - 534590523031342378803502181264a + 615902040154965038517292252048 )x^{17} + (117710620556581478349161528380a^{2} + 189961566357442481561663063472a + 560067594699168171119424423220 )x^{16} + (348154388446333699384911836992a^{2} - 518717360184211743342724699968a - 64366739537771658091462435616 )x^{15} + (-625244577563231007278047979928a^{2} - 423471858445234641294916928720a + 111744485317562984969842878848 )x^{14} + (373175238251217872722094846048a^{2} + 412370517080207251949639428224a - 540600615137105552173038676576 )x^{13} + (268092314867721133991681004984a^{2} + 368521011548164685175137052056a - 534247950080485224910733049584 )x^{12} + (-471013503794475720938799888384a^{2} - 535839237823043179860300971456a - 365723623928913564012697254848 )x^{11} + (78446304600774630632712277640a^{2} - 269651568621591698054243147864a - 288426131043234429468442156144 )x^{10} + (621198415566289663104685132688a^{2} - 200768652503800942321377078944a + 193742887129207495300616964896 )x^{9} + (8086803633565514372987020384a^{2} - 302010812580157537586961357740a + 456580774254176855721129281044 )x^{8} + (47592741242835522537831018144a^{2} - 121855147002819543758767655328a - 394018059194861563943951531360 )x^{7} + (615412001679756538775083393984a^{2} - 309710475304476864075108962048a + 580313741416462047445059180688 )x^{6} + (387004462575375682896220506144a^{2} + 50381430709250414299207202944a + 470451119485688696716346867424 )x^{5} + (-369353447415842283400326745400a^{2} + 317478413323965668167296201704a + 309186903263354518817882232600 )x^{4} + (-178989526747131611773482088352a^{2} + 315009135299685054434175669728a - 151490502587801764983044553760 )x^{3} + (66595680809434642372341992944a^{2} - 24674383403176584753162935408a - 194471821092160450061854761728 )x^{2} + (445300743730590856606558157856a^{2} + 241074474948478007447573708448a - 132745050347979877340140708160 )x + 175863962643399949500181147232a^{2} - 198484656388639485240551426256a + 217515205780336692172290378460 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary