← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (488250234556931196140662303768a^{2} + 202670479556057999308048939816a + 536970222775850039403541758872 )x^{46} + (216687186091857749893308805216a^{2} + 633009763844142490631117122928a + 433196471777701057995647641648 )x^{45} + (425935756459913352196345925440a^{2} + 386099863956608448433863380212a - 588793995498738186221268393028 )x^{44} + (474765644623926796193757142560a^{2} + 227518902008378662156490542176a + 512773415604455375259361489896 )x^{43} + (-438603080874318854650563393248a^{2} + 94608558853482415898087064192a + 553654097175549885669989212580 )x^{42} + (-129568145575778825570349308360a^{2} - 116271329395528048294737101248a - 383088953395510134083048568072 )x^{41} + (-450544624658825224396324548208a^{2} + 502616248434380174227676118112a + 381689201014692437831031666752 )x^{40} + (543164911151143451909899664144a^{2} + 523046721643450328800261844112a + 275473092419494450854075015904 )x^{39} + (33223431515588533134806278504a^{2} - 320621642634874562178204550000a - 269541959750288403330006545956 )x^{38} + (221928676884141376175277219440a^{2} + 72349454391984025197758565432a - 232349900860146874371906547112 )x^{37} + (-92017447194362213392953906984a^{2} + 470857188518885703024745871168a - 57342197933147425135344289448 )x^{36} + (-259392036058340547434172048224a^{2} + 150486087337663729337784809776a - 448060588078398781350295618432 )x^{35} + (-541390740634020302778652716308a^{2} + 471323222182048086542859402260a + 548436218361396139595573524504 )x^{34} + (433345623124122633399516927736a^{2} - 434497811739791045242891418952a - 329836751421805405876507768992 )x^{33} + (-204232127147163146629466381914a^{2} + 568824359757210193322110436154a + 49863220936557597215516662612 )x^{32} + (-207505988646988125734045080096a^{2} + 481950367315798343148327713024a + 130767109839135326932408849344 )x^{31} + (-578317710907091270868136929000a^{2} - 31661945659875717678751694216a + 610647428606422075118872600480 )x^{30} + (41873212580680230369118778664a^{2} + 449986995717465752799274173000a + 212008919137166158573843077216 )x^{29} + (-216211861734304799385235131088a^{2} + 610333117174350026828889759556a + 182248316347058632946077992816 )x^{28} + (-25773130573030957283374056816a^{2} - 101651502166503897193713243728a - 55574105849983215109871902752 )x^{27} + (-410202476296227241962595949832a^{2} + 336004657677863325110808529280a + 30099287140393921684800307672 )x^{26} + (197324185319135184030548256848a^{2} + 46915918292862244814952424424a + 90918913066826674606633676384 )x^{25} + (495999702386910793056168614244a^{2} - 6747955417996598973849047656a + 276410401894889633434683948860 )x^{24} + (-232739517423757500309611362336a^{2} - 558446360915556480000476439424a + 23091034329051558481843155360 )x^{23} + (-138990385662260997365577398608a^{2} + 514320018825267014836827308192a + 318676145776390213424700285568 )x^{22} + (556656473589342792577398087328a^{2} + 198787869796732732871986822224a + 158419263470532376485890626960 )x^{21} + (-578946833082550360199477549768a^{2} - 472888421821083905380567858968a + 89885012082970381998322440048 )x^{20} + (40415123926472955792845919920a^{2} - 208575563704282871212069849104a + 43642724340246751654226508560 )x^{19} + (-68458497456442138258064823576a^{2} - 271984782443609418547714351232a + 267335929784653130651110333016 )x^{18} + (548942721773390318257130923792a^{2} + 381793525237493323243657952096a + 253323904434948030666277958448 )x^{17} + (-497441578398418469651165710216a^{2} - 317744279533636670977229402996a + 389850358163422884640961791480 )x^{16} + (411328257675675051495063465408a^{2} - 517105393016383419278878721440a - 610105846739934659554771212128 )x^{15} + (536098531992509924627349411760a^{2} - 64725357689547394696983742160a - 49526734420201574419428882128 )x^{14} + (69589343613518128213197792640a^{2} - 128895867435956208852581379760a - 63166755583524743213328849088 )x^{13} + (569096234039112983884904007160a^{2} + 191955868126518261104534863720a - 370586966711989985920902197640 )x^{12} + (-83034879659443736818939859616a^{2} + 165845154277696741546277329344a + 514528200825560817094232194912 )x^{11} + (-211545119773351359864862006296a^{2} + 497905081494168337858553679488a + 429878857953742523574963388832 )x^{10} + (-537483519371618768195550035616a^{2} - 182247769538391240952191408432a - 614204612263301218171761468176 )x^{9} + (-141676660568935056728496561580a^{2} + 288614247875277078775726760312a + 289607311538922785612753421320 )x^{8} + (273468125631743085984892978048a^{2} - 243224797277992651685473349504a - 136799982919641159461456264128 )x^{7} + (554263499799629062444563859392a^{2} - 17594588599284903073872462240a - 216324551953145514574153445376 )x^{6} + (-148792880140262403082291237248a^{2} + 149740062601922693640580254976a - 216639784744995905977872444032 )x^{5} + (160946347828376663226605124984a^{2} - 79120824351914755153674863360a + 78922652075672217978671560744 )x^{4} + (-395558615188063088838748930880a^{2} + 350396448225895257065300553152a + 142774857576946199646764848064 )x^{3} + (-618561490764102292343951390048a^{2} - 563180983265112504538486018912a - 524295967799896964653972056192 )x^{2} + (454413472988125313939436109776a^{2} - 237856802329492991118889855968a - 555883203313898890311846708560 )x - 489431775512840492826103317968a^{2} + 47932738249680994782735333676a + 483560689207045019997968158292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary