← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (-104242417963686424403437171760a^{2} - 145051057749243478070188224984a - 268452901452954836460791754992 )x^{46} + (519001298148841425562891891936a^{2} + 589762263715579099952897729184a - 15574651887104118405489911984 )x^{45} + (234940982839880466000593032976a^{2} - 492332245331196995963954916348a - 527317828969480852578991449460 )x^{44} + (-445811335855081386639935599760a^{2} + 46657549451267213152457907680a - 392126615043681737657394188744 )x^{43} + (465857790827863924153566780128a^{2} - 113911854902487392201625140024a + 427203963074379317949682028628 )x^{42} + (135381345933243284998603930840a^{2} - 58551753058177089782722570136a + 616921416980720593197649791712 )x^{41} + (-343044029926254701344036209008a^{2} - 294404237919966850982820374104a - 310038624812734793919219695864 )x^{40} + (-544907417689997779275452808304a^{2} - 113724155280764782640324751056a + 559891296479768051085458190976 )x^{39} + (-91972013695348071137850544872a^{2} - 476507813214305327000270459760a - 551289657305181603811203979204 )x^{38} + (334652505429834204226046597840a^{2} - 389782470135232666075019050776a + 71776307931899846152879649944 )x^{37} + (517611588472140270295458439760a^{2} + 135096068148008421306837935208a - 626692039799253641339976566384 )x^{36} + (-8536188282252747719728241152a^{2} + 90527889484419146114446262224a - 340841414606173774630770114784 )x^{35} + (234578688324281730693701036380a^{2} + 188517873877187847065053787732a - 125216303235880273613826058048 )x^{34} + (99004512061575214929027120232a^{2} + 186010616247395333249482269128a + 91192167497091732545630241440 )x^{33} + (153667981253623623978144619294a^{2} + 533573265261510988299059257210a - 141401513578156871859959372264 )x^{32} + (617187086164700040446243356896a^{2} + 226387429172258391349696714112a + 2540054912159218330769912640 )x^{31} + (88244247290915014804482167496a^{2} + 308821787154908281747754918024a - 590486319206701574741036642352 )x^{30} + (525954261622917656060440444424a^{2} + 142750116263127886977918136104a + 85556831475122123446477716928 )x^{29} + (-286954990670822090611971526096a^{2} + 348799228092564883965173213252a - 585327863729343726412360607992 )x^{28} + (260110986627381764601625143728a^{2} + 211823735836083472613746359376a + 188527145404546819957007072512 )x^{27} + (-171784988043283419616064499176a^{2} + 303918033967226622164851660208a - 512525126174575842695272276024 )x^{26} + (209599090741578582516460412976a^{2} + 442718688789454173576095580232a - 554260954858640914446373037568 )x^{25} + (317943698551440933657498577476a^{2} + 146368648183479863216639317496a - 585148264525435419574162284660 )x^{24} + (-38751077954567496459629538240a^{2} - 186414070565389545100333394400a - 136440746046699947082840351712 )x^{23} + (-499666483105661479539183797632a^{2} - 441840280004499894898554966560a - 201600508525323259457339271872 )x^{22} + (-453599215614896831052326943872a^{2} + 82243672713264614754928725136a + 521701411238260210285282419056 )x^{21} + (-519429971732471852573601334888a^{2} + 255882318204805769200623517272a + 71147456063790002047405322272 )x^{20} + (170921279193604678102193874000a^{2} - 319121177677581141881819109968a - 364176631650180962867887404592 )x^{19} + (332252609032082793464649042648a^{2} - 264580353246451109271864485344a - 270582736401272855725770288504 )x^{18} + (-351658940717172121399729114960a^{2} + 20770855681995333613491816768a + 133973859413663072342201728528 )x^{17} + (424484949273253125254588824920a^{2} + 419139854349916736120358349900a - 165822765416950507727388897000 )x^{16} + (559928008968062467736005704576a^{2} + 293455667334021931665783328288a - 475060551454062742008878181600 )x^{15} + (511164770548570573237723143056a^{2} + 201949642075032854220461250064a - 607862651265473760617610570032 )x^{14} + (465528437151124867486192183072a^{2} + 39594477235687570117715246736a + 451463610179668526428345016192 )x^{13} + (-434301553958247113242105771512a^{2} + 154430742972609250856423875320a + 586215095057984953921282567016 )x^{12} + (-369395135741692155464726776672a^{2} + 348809710237734908426779484224a - 585141202521666998956040546656 )x^{11} + (-318976440469012007386812551256a^{2} - 251684860558418096760006924224a + 606956490130006470052866248992 )x^{10} + (438937504745606993229686805568a^{2} - 98089399962231213421298796624a + 381875948294937687612644949104 )x^{9} + (130699540158837506603482493540a^{2} + 270295401668689745801105313336a + 620078990329577850329066248536 )x^{8} + (-133624519474157167298058065408a^{2} + 243341458150144462260455446336a + 540813560288062671516692175936 )x^{7} + (-508615628653153710806989857120a^{2} - 144348783614760855359686106464a - 357092206423992604881859290336 )x^{6} + (195366306647760819508439415840a^{2} - 17825960272285018397629094944a + 276931923054629356205400821024 )x^{5} + (452070891586673730716155467384a^{2} - 207971667887414035529261771248a + 312669055737310155600737977432 )x^{4} + (-238268526544958227865902813440a^{2} - 599821747612374620454042712064a + 358512756756559103201270990528 )x^{3} + (38307853745726222506486718992a^{2} + 290144644421224241841686672320a - 381924923703488387628129930656 )x^{2} + (-584584050750869498670482464464a^{2} + 145597010295179868512823346592a - 158553489643964518253029211024 )x - 59360924328519350762987423664a^{2} - 362327861073007734501132158548a + 276402931854263524781088048660 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary