← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (73167614906484241339405104896a^{2} - 418834469675813702369554036048a - 164614345431474967313696777800 )x^{46} + (165397766500735895126589630544a^{2} + 54779914290007330859802586288a + 395656027981500553043163616224 )x^{45} + (196132233461627918207673321536a^{2} - 92101706209845323835465413372a - 170366575524685659835617827404 )x^{44} + (180415709324091169650115342768a^{2} + 355561791253407841057181265136a - 114435280148955739314452856536 )x^{43} + (132760673450867983665838624240a^{2} - 573772158460929949773145546968a - 605397538601980844228142302140 )x^{42} + (297826312473204302277779557168a^{2} + 192931652205790397334979569456a + 460427611077691508778476242640 )x^{41} + (-541908044289454103150684776372a^{2} + 510042876952356478732598672024a + 202910931948271440812563151784 )x^{40} + (466385655657754048180324420560a^{2} + 187149702556226656908250517328a - 54703417923296170524186162176 )x^{39} + (268207816807798159534252479256a^{2} - 269665993332881921834450107712a - 589535341918205205099192894596 )x^{38} + (-62225724570540527113643991504a^{2} - 204785607736753218711564889448a + 122807982006481810531718156776 )x^{37} + (-100247067617364703693163158968a^{2} - 43804108949129622754072402296a - 561091937648759468497691776808 )x^{36} + (109304591279507793622014809568a^{2} - 381919501606854158475738924912a + 18761726113158443125446129152 )x^{35} + (195062420217955053101436274948a^{2} - 196860512450782683425032706636a + 562203732440907961236393592064 )x^{34} + (250621388653698807525889921976a^{2} + 151582520953175887677540531304a + 593124542331451091147181405408 )x^{33} + (-500084852809822379881863186510a^{2} + 621191216911891347490411107714a + 285442731574763349589254088560 )x^{32} + (250821360860649136609626416928a^{2} - 483254147448630037066880005120a - 209899870112939833725014868256 )x^{31} + (-213582581488909467677442665304a^{2} + 222159952092393555135608708808a + 447913566298529895106322108464 )x^{30} + (-498687747522464558771630362552a^{2} + 169772846082510150305464658248a + 569359372835611696645802711136 )x^{29} + (46856772590320022103681967744a^{2} + 441998690380909769526523868524a - 44630756576957646151771652552 )x^{28} + (432640772288017384361915806224a^{2} + 391094539748902977717781738064a - 364172103675676836503793133952 )x^{27} + (252058103029830280929773089528a^{2} + 538453564221821305514623681152a - 116147821889288738171697724504 )x^{26} + (625998856727376841704582176752a^{2} + 403040352059438075476167912584a + 390226110276790757517544816448 )x^{25} + (402769095936589188497955409956a^{2} - 314891635156953723945227978664a + 318346185038504597057429482052 )x^{24} + (-246426647998160672537422768992a^{2} - 56320670677581824127092952608a + 347331597270973587414094517440 )x^{23} + (-188043942881223406778468667536a^{2} + 530440610632573882424881457264a + 126324911596864107462008266624 )x^{22} + (321394690733263798684245553152a^{2} - 377628506341713836186647660560a - 328194447106785982923629776432 )x^{21} + (-212865127498914356342348923032a^{2} - 441332615514796078409948471456a + 36038241233616390131391443192 )x^{20} + (-594488294184863512919828235760a^{2} + 135041499445083743126376063728a + 481937147177652264866784502768 )x^{19} + (-334421413213536661620048275256a^{2} - 80353322376447832754126571888a + 45752258035394280677854368696 )x^{18} + (385710062114297339269801290576a^{2} + 493988803165563406245590417056a + 402693655836470407544198986768 )x^{17} + (-322686037747184872005349762552a^{2} + 340872432710082600608313534412a + 469547556337220245013382235200 )x^{16} + (-569087095382220293346449290880a^{2} + 5742276296664762193362848864a + 523767641840922480304474319584 )x^{15} + (446588862499302566067262185648a^{2} + 396718445899933229661859131280a + 145998149144851289271514787184 )x^{14} + (404163474993062216126637085792a^{2} - 533167789762433963951345014864a + 581926101263237596335471673792 )x^{13} + (449399220645330917926820044424a^{2} + 602143813918623794171996652392a - 13291472361945439432148559304 )x^{12} + (-198560760793051380857651970848a^{2} - 290433352129981441931697181312a + 473856986276935138005858975040 )x^{11} + (153765723967162567631772511944a^{2} - 398219126262448440191426993728a - 291303837979379261808072497696 )x^{10} + (-171984568314335741134297014944a^{2} + 621916855497333469307401474640a + 312359684621690154010679716144 )x^{9} + (73395182702402795762118505780a^{2} + 235676144402188811126765393704a + 375777821421637766162042517864 )x^{8} + (60391192910569341282644771648a^{2} - 99202201828154661119587508416a - 395585726931254465742700298240 )x^{7} + (242088338424306374762859978592a^{2} - 54827418766986060790783436832a + 225827146305849397849734896320 )x^{6} + (-311299658460693878593018748576a^{2} - 247563066619726569467937437344a - 328678412000620144172307179776 )x^{5} + (-31285371332047633258370956072a^{2} - 410303325768479859548574081536a - 360451546963604877477775578456 )x^{4} + (-398606361760832953144970669440a^{2} + 614370355855149578428746582528a - 535823141521952442285789952768 )x^{3} + (-41523385903368037649797346320a^{2} + 309811642598188153623303112272a - 529713012006581385994950107888 )x^{2} + (-362605771888632226333380650992a^{2} + 195145560094957976993189302016a + 461154310322070228958369671856 )x + 441893307559965341791889347120a^{2} - 234563632297509994237784603268a - 267448106658397900748931877004 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary