← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.143348_325954_448182.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((13301764698178040065622409928a^{2} + 296034028835886185053956859671a - 240893264826955314571340037828)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (-3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + (2\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + a^{2})b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 1)))c + ((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b - 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-583013942681414439036035846224a^{2} - 407066731346334118585828434616a + 339450401635179863453499478216 )x^{47} + (-337496686831147888089241623640a^{2} - 224088661005283360158611895616a - 171038385667234842432211412464 )x^{46} + (-586916099616670987996098184272a^{2} + 41729549818470032752203864736a + 583992772592800298338609871328 )x^{45} + (12890759261391706373044597104a^{2} + 203037906092431963883291838900a - 281679486467284311738504426908 )x^{44} + (-11471890090458885427355837664a^{2} + 168555796809675518659737706448a - 618560538415892109669655845832 )x^{43} + (-56436682781970291325381515456a^{2} + 276467170067461232779252668672a + 355110962220486929099771150868 )x^{42} + (126720404421421249050418490704a^{2} + 503240078145944307764473432200a + 296957553227345002556716647640 )x^{41} + (220124821831214660907332439804a^{2} + 547572744638290480533759604680a - 438222393502075527495542434576 )x^{40} + (209924523209120562664788853712a^{2} - 21627784385080995262065350672a - 240026308490387770152915388320 )x^{39} + (56734575542474142257728187272a^{2} + 129412720579532401638728194048a - 471163524570612367820468439620 )x^{38} + (-251697185888650976246469415696a^{2} + 437048180925300894498126106056a + 356364923456512416153092839208 )x^{37} + (-460820902198878598863462170384a^{2} - 372389373692248420924625869824a + 235661185151373632059740010976 )x^{36} + (103017376041028434131815569056a^{2} + 394876484101119837117323386512a + 523374996468103055563606803008 )x^{35} + (554207537593219732475474425092a^{2} - 241374938271677645263410363276a - 170934866984443273582255832344 )x^{34} + (127111832421317964281351081224a^{2} + 322846981437840797857772392824a - 222903027148386599190972832416 )x^{33} + (-47485797223047458022342242302a^{2} + 490845358559553540432326722698a - 110628678389306225427075373364 )x^{32} + (325619252087035893828051127200a^{2} - 250394488567636261111359941120a + 80319733594216615486058396512 )x^{31} + (229580346215168023582700904728a^{2} - 315698389995610289432524077416a - 486727754973819653738538699424 )x^{30} + (317667855840370977929268877288a^{2} - 330335772648887831005784408536a - 213216953784424036107260818496 )x^{29} + (468115658166272736898681703088a^{2} - 224736960042076935652778155684a + 213078254700068818092699829248 )x^{28} + (-121196407745146325876313036624a^{2} - 132994465334310387244730419024a + 192504915270693357148802922592 )x^{27} + (-624620288761763034718201778056a^{2} + 2186413757328747072556023728a + 458735529970380757888316823416 )x^{26} + (-530158401401249504076810027408a^{2} + 193620576700113463475710516776a - 491473017511506218323946516864 )x^{25} + (607384503590134024031445895412a^{2} + 394463889500567970899213538520a + 137512484991960160402157582212 )x^{24} + (-18552283213288299453895459520a^{2} + 297379812178913463134891630976a - 309221360969272608474494647488 )x^{23} + (272999703554774643760026190368a^{2} - 145299289228915584159302402096a + 240038758002335346667459674336 )x^{22} + (562983976360489214232155045536a^{2} - 532745775563808215997603593232a + 496134436332401720667804637808 )x^{21} + (352894868445717080534690113448a^{2} + 509423850155163178065037446544a + 70086245763109898451562873704 )x^{20} + (-563848180355616022515237497552a^{2} + 629582146407941707364298051824a - 267996380201254930200455323664 )x^{19} + (543172138733887407693621668856a^{2} - 23729684993472427590520557328a - 170513270952368359846129415512 )x^{18} + (619591094223071009724881995376a^{2} - 458221812494093336695655653664a - 266924343956773303925254555664 )x^{17} + (-209623401209909290739099021512a^{2} + 26614383120556575494104666844a + 332109238618987464520858209920 )x^{16} + (-632824563512700005743709319872a^{2} + 227755480876024621790649659168a + 311083683294575893519883050080 )x^{15} + (-329059547410701058560327391088a^{2} + 606108336683802586071830196784a - 580168266915955460691024152496 )x^{14} + (554029870016067522327535121344a^{2} + 480698148630451706166822255600a + 427653174620716105666716791680 )x^{13} + (623208194556481736029875587448a^{2} - 614211661197566693401809600456a - 596358979901348145304491361848 )x^{12} + (-405358842365196471802137802848a^{2} + 54576176386456715397421606784a - 253360838629367224096850092800 )x^{11} + (611237290635738424248110862856a^{2} - 275341749493803271827205709600a - 115815335417275864509198053248 )x^{10} + (-549827867146382411958577841984a^{2} - 99029258781054935743494234000a - 114872943777581672780359687952 )x^{9} + (112317301097078231860178200996a^{2} - 111013761580227772921293891352a - 125526662148950478155389569160 )x^{8} + (261979067644833895505016370496a^{2} + 397810374963101663784194229504a + 491555037997986468681000536576 )x^{7} + (-329516836057079509449622533824a^{2} + 499410393987349848201019264416a + 562292969697416482439140584928 )x^{6} + (104437145340778042934432215552a^{2} - 544157522460060622216935270528a - 629477632419870379708439438304 )x^{5} + (-516549664607863409066672094408a^{2} + 435692654468615050256636258768a + 476450476536407658400969436536 )x^{4} + (25677471617113161858854507840a^{2} - 335815728027756750874706251200a - 339645960391164501601542208256 )x^{3} + (627103840534086958105876447456a^{2} + 328728794883344657493259910896a + 352546924100897602193682989712 )x^{2} + (125809956801859845534293297904a^{2} + 493244299678280781246519042688a - 117557100225900767754371994064 )x - 568286409510130064999522053968a^{2} - 400435054480754645044891609924a - 179508055879330283686753911308 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary